Example Question - right triangle
Here are examples of questions we've helped users solve.
Right Triangle Problem
<p>Para resolver este problema, necesitamos aplicar el teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. La fórmula es:</p> <p>\[a^2 + b^2 = c^2\]</p> <p>Donde \(a\) y \(b\) son los catetos, y \(c\) es la hipotenusa. En este caso, tenemos un triángulo con catetos de longitud 6 cm y 7.5 cm.</p> <p>Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos:</p> <p>\[6^2 + 7.5^2 = c^2\]</p> <p>\[36 + 56.25 = c^2\]</p> <p>\[92.25 = c^2\]</p> <p>Tomando la raíz cuadrada de ambos lados:</p> <p>\[c = \sqrt{92.25}\]</p> <p>\[c = 9.6\, \text{cm}\]</p> <p>Por lo tanto, la longitud de la hipotenusa es de 9.6 cm.</p> <p>Para encontrar el valor del ángulo que no es de 90 grados y es adyacente al lado de 6 cm, podemos usar la función trigonométrica tangente, que es la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:</p> <p>\[\tan(\theta) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}\]</p> <p>En este caso, el cateto opuesto al ángulo es de 7.5 cm y el cateto adyacente es de 6 cm. Así que:</p> <p>\[\tan(\theta) = \frac{7.5}{6}\]</p> <p>\[\theta = \arctan\left(\frac{7.5}{6}\right)\]</p> <p>Usando una calculadora, encontramos que:</p> <p>\[\theta \approx 51.34^\circ\]</p> <p>Por lo tanto, el valor del ángulo \(\theta\) es aproximadamente 51.34 grados.</p>
Solving a Right Triangle
<p>Paso 1: Determinar la hipotenusa \( C \)</p> <p>\( C = \sqrt{A^2+B^2} \)</p> <p>\( C = \sqrt{3^2+5^2} \)</p> <p>\( C = \sqrt{9+25} \)</p> <p>\( C = \sqrt{34} \)</p> <p>\( C \approx 5.83 \) (2 decimales)</p> <p>Paso 2: Encontrar las medidas de los ángulos \( A \) y \( B \)</p> <p>Usando las funciones trigonométricas:</p> <p>Para \( A \):</p> <p>\( \tan(A) = \frac{\text{Opuesto}}{\text{Adyacente}} = \frac{B}{A} \)</p> <p>\( \tan(A) = \frac{5}{3} \)</p> <p>\( A = \arctan\left(\frac{5}{3}\right) \)</p> <p>\( A \approx 59.04^\circ \) (2 decimales)</p> <p>Para \( B \) (sabemos que en un triángulo rectángulo \( A + B = 90^\circ \)):</p> <p>\( B = 90^\circ - A \)</p> <p>\( B \approx 90^\circ - 59.04^\circ \)</p> <p>\( B \approx 30.96^\circ \) (2 decimales)</p> <p>Paso 3: Determinar las 6 razones trigonométricas</p> <p>Sen \( A = \frac{\text{Opuesto a } A}{\text{Hipotenusa}} = \frac{B}{C} = \frac{5}{\sqrt{34}} \approx 0.857 \) (3 decimales)</p> <p>Cos \( A = \frac{\text{Adyacente a } A}{\text{Hipotenusa}} = \frac{A}{C} = \frac{3}{\sqrt{34}} \approx 0.515 \) (3 decimales)</p> <p>Tan \( A = \frac{\text{Opuesto a } A}{\text{Adyacente a } A} = \frac{B}{A} = \frac{5}{3} \approx 1.667 \) (3 decimales)</p> <p>Sen \( B = \frac{\text{Opuesto a } B}{\text{Hipotenusa}} = \frac{A}{C} = \frac{3}{\sqrt{34}} \approx 0.515 \) (3 decimales)</p> <p>Cos \( B = \frac{\text{Adyacente a } B}{\text{Hipotenusa}} = \frac{B}{C} = \frac{5}{\sqrt{34}} \approx 0.857 \) (3 decimales)</p> <p>Tan \( B = \frac{\text{Opuesto a } B}{\text{Adyacente a } B} = \frac{A}{B} = \frac{3}{5} \approx 0.600 \) (3 decimales)</p>
Approximating Values of Sine Using Right Triangle Ratios
<p>Para la parte a), usaremos la relación trigonométrica del seno, que es el lado opuesto sobre la hipotenusa en un triángulo rectángulo.</p> <p>\[\sen(\alpha) = \frac{opuesto}{hipotenusa}\]</p> <p>\[\sen(\alpha) = \frac{2\ mm}{4\ mm}\]</p> <p>\[\sen(\alpha) = 0.5\]</p> <p>Para la parte b), de igual manera, aplicamos la relación del seno:</p> <p>\[\sen(\alpha) = \frac{opuesto}{hipotenusa}\]</p> <p>\[\sen(\alpha) = \frac{4\ cm}{\sqrt{10}\ cm}\]</p> <p>\[\sen(\alpha) = \frac{4}{\sqrt{10}}\]</p> <p>\[\sen(\alpha) = \frac{4}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}\]</p> <p>\[\sen(\alpha) = \frac{4\sqrt{10}}{10}\]</p> <p>\[\sen(\alpha) = \frac{2\sqrt{10}}{5}\]</p> <p>Para obtener el valor aproximado a tres dígitos decimales, calculamos:</p> <p>\[\sen(\alpha) \approx \frac{2\sqrt{10}}{5} \approx 0.632\]</p>
Trigonometric Functions in Right Triangles
<p>Para el inciso a, para calcular \(x\) usamos la definición de seno en un triángulo rectángulo: \( \text{sen}(\theta) = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \).</p> <p>Entonces, tenemos que \( \text{sen}(\theta) = 0.28 = \frac{x}{24} \).</p> <p>\( x = 0.28 \cdot 24 \)</p> <p>\( x = 6.72 \text{ cm} \)</p> <p>Para el inciso b, para calcular la longitud del lado opuesto al ángulo \( \beta \), usaremos la definición de coseno: \( \text{cos}(\theta) = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} \).</p> <p>Tenemos \( \text{cos}(\beta) = 0.324 = \frac{\text{adyacente}}{35} \).</p> <p>La longitud del lado adyacente es entonces \( \text{adyacente} = 0.324 \cdot 35 \).</p> <p>\( \text{adyacente} = 11.34 \text{ cm} \)</p> <p>Finalmente, para el inciso c, para calcular la longitud de \( \overline{AB} \), utilizamos la definición de tangente: \( \text{tg}(\theta) = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} \).</p> <p>\( \text{tg}(\alpha) = 1.3 = \frac{\text{opuesto}}{10} \).</p> <p>La longitud del lado opuesto a \( \alpha \) es \( \text{opuesto} = 1.3 \cdot 10 \).</p> <p>\( \text{opuesto} = 13 \text{ cm} \)</p>
Trigonometry Problems Involving Right Triangles
Para el inciso a: <p>\(\text{Usamos la definición de seno en un triángulo rectángulo:} \frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}}\)</p> <p>\(sen(\theta) = \frac{x}{24}\)</p> <p>\(0.28 = \frac{x}{24}\)</p> <p>\(x = 0.28 \times 24\)</p> <p>\(x = 6.72 \text{ cm}\)</p> Para el inciso b: <p>\(\text{Usamos la definición de coseno en un triángulo rectángulo:} \frac{\text{Cateto adyacente}}{\text{Hipotenusa}}\)</p> <p>\(cos(\beta) = \frac{35}{x}\)</p> <p>\(0.324 = \frac{35}{x}\)</p> <p>\(x = \frac{35}{0.324}\)</p> <p>\(x \approx 108.025 \text{ cm}\)</p> Para el inciso c: <p>\(\text{Usamos la definición de tangente en un triángulo rectángulo:} \frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Cateto adyacente}}\)</p> <p>\(tg(\alpha) = \frac{x}{10}\)</p> <p>\(1.3 = \frac{x}{10}\)</p> <p>\(x = 1.3 \times 10\)</p> <p>\(x = 13 \text{ cm}\)</p>
Trigonometric Functions in Right Triangles
<p>Para la parte a), usando la definición de seno en un triángulo rectángulo:</p> <p>\[\text{sen}(\theta) = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}\]</p> <p>Si \(\text{sen}(\theta) = 0,28\), entonces la hipotenusa es \(\frac{24}{0,28}\):</p> <p>\[x = \frac{24}{0,28}\]</p> <p>\[x = 85,71\ (2 d.p.)\]</p> <p>Para la parte b), usando la definición de coseno:</p> <p>\[\cos(\theta) = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}\]</p> <p>Si \(\cos(\beta) = 0,324\), entonces la longitud adyacente es \(\frac{35}{0,324}\):</p> <p>\[x = \frac{35}{0,324}\]</p> <p>\[x = 108,02\ (2 d.p.)\]</p> <p>Para la parte c), usando la definición de tangente:</p> <p>\[\text{tg}(\theta) = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}\]</p> <p>Si \(\text{tg}(\alpha) = 1,3\), entonces la longitud adyacente es \(\frac{10}{1,3}\):</p> <p>\[x = \frac{10}{1,3}\]</p> <p>\[x = 7,69\ (2 d.p.)\]</p>
Triangle Trigonometry Problem
<p>Dado que $sen(x) = 0.28$, y sabiendo que el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo es igual al lado opuesto sobre la hipotenusa, podemos establecer la siguiente relación:</p> <p>\[ sen(x) = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{BC}{AC} \]</p> <p>Entonces podemos escribir que:</p> <p>\[ 0.28 = \frac{BC}{7.5} \]</p> <p>Resolviendo para $BC$:</p> <p>\[ BC = 7.5 \cdot 0.28 \]</p> <p>\[ BC = 2.1 \text{ cm} \]</p> <p>Por lo tanto, la longitud de $BC$ es 2.1 cm.</p>
Calculating the Height of a Kite using Angle of Elevation
<p>Let \( h \) be the height of the kite above the ground and \( d \) be the horizontal distance between observer \( P \) and the point on the ground directly below the kite.</p> <p>For observer \( P \), using the tangent of the elevation angle:</p> <p>\[ \tan(38^\circ) = \frac{h}{d} \rightarrow d = \frac{h}{\tan(38^\circ)} \]</p> <p>For observer \( Q \), \( Q \) is 15 m apart from \( P \) on the horizontal plane, so the horizontal distance between \( Q \) and the point on the ground directly below the kite is \( d + 15 \) m.</p> <p>Using the tangent of the elevation angle for \( Q \):</p> <p>\[ \tan(45^\circ) = \frac{h}{d + 15} \]</p> <p>Since \( \tan(45^\circ) = 1 \), we have:</p> <p>\[ 1 = \frac{h}{d + 15} \rightarrow d + 15 = h \]</p> <p>Substitute \( d \) from the first equation:</p> <p>\[ \frac{h}{\tan(38^\circ)} + 15 = h \]</p> <p>Solve for \( h \):</p> <p>\[ h(\tan(38^\circ)) = h \tan(38^\circ) \]</p> <p>\[ h = 15 \tan(38^\circ) \]</p> <p>Calculate \( h \) using a calculator:</p> <p>\[ h \approx 15 \times 0.7813 \]</p> <p>\[ h \approx 11.7195 \]</p> <p>The height of the kite to the nearest meter is approximately 12 meters.</p>
Solving a Triangle Problem Using Trigonometric Ratios
Para resolver este problema, primero identificamos que se trata de un triángulo rectángulo y que debemos usar las razones trigonométricas para encontrar la altura del objeto, representada por la línea BC en la figura 3.27. La información dada es el ángulo de elevación (40°) y la distancia horizontal a la base del objeto (20 cm), y necesitamos encontrar la longitud de la línea BC, es decir, la altura del objeto. Usaremos la tangente del ángulo de elevación para relacionar los lados opuesto y adyacente del triángulo rectángulo. La fórmula de la tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo es: \[ \tan(\theta) = \frac{\text{Lado opuesto}}{\text{Lado adyacente}} \] Donde \( \theta \) es el ángulo de elevación, el lado opuesto es BC y el lado adyacente es AC. Usando la información dada en la figura 3.27 y el ángulo de elevación de 40°: \[ \tan(40^{\circ}) = \frac{BC}{20\text{ cm}} \] Ahora calculamos el valor numérico de \( \tan(40^{\circ}) \) y despejamos para BC: \[ BC = 20\text{ cm} \cdot \tan(40^{\circ}) \] Luego, al calcular el valor de \( \tan(40^{\circ}) \), obtenemos aproximadamente 0.8391 (este valor puede variar ligeramente dependiendo de la precisión de la calculadora utilizada). Finalmente, calculamos BC como: \[ BC = 20\text{ cm} \cdot 0.8391 \] \[ BC \approx 16.782\text{ cm} \] Por lo tanto, la altura del objeto, que es la línea BC, es aproximadamente 16.78 cm.
Solving for the Sine of Angle R in a Right Triangle Given the Tangent of Angle S
Given that \(\tan(S) = \frac{1}{\sqrt{3}}\) and \(\angle T = 90\) degrees, so \(\angle S + \angle R = 90\) degrees. \(\tan(S) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} = \frac{\sin(S)}{\cos(S)}\) \(\sin(S) = \cos(R)\) since \(\sin(\theta) = \cos(90 - \theta)\) Therefore, \(\sin(S) = \frac{1}{\sqrt{3}}\) Now, since \(\sin(S) = \frac{1}{\sqrt{3}}\), we have \(\sin(R) = \sin(90 - S)\) \(\sin(R) = \cos(S) = \sqrt{1 - \sin^2(S)}\) Calculating \(\cos(S)\) given \(\sin(S)\): \(\cos(S) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}\) \(\cos(S) = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}\) \(\sin(R) = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}\) \(\sin(R) = \frac{\sqrt{6}}{3}\) Since this option is not provided in the multiple-choice answers, it must be simplified further: \(\sin(R) = \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{2 \cdot \sqrt{6}}{2 \cdot 3}\) \(\sin(R) = \frac{2\sqrt{6}}{6}\) \(\sin(R) = \frac{\sqrt{6}}{3}\) Hence, the correct answer is \(\sin(R) = \frac{\sqrt{6}}{3}\), which is not listed in the provided options, there might be an error in the provided options or question setup.
Calculating the Hypotenuse of a Right Triangle
\[ c^2 = a^2 + b^2 \] \[ c^2 = 3^2 + 4^2 \] \[ c^2 = 9 + 16 \] \[ c^2 = 25 \] \[ c = \sqrt{25} \] \[ c = 5 \]
Calculating the Hypotenuse of a Right Triangle
Given \( a = 3 \) and \( b = 4 \) \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \] \[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \] \[ c = \sqrt{9 + 16} \] \[ c = \sqrt{25} \] \[ c = 5 \]
Solving Triangles using the Pythagorean Theorem
Para resolver este problema, vamos a calcular el cuadrado de cada lado de los triángulos dados y verificar si cumplen con el teorema de Pitágoras, cuyo enunciado es \(a^2 + b^2 = c^2\), donde \(c\) es la hipotenusa y \(a\) y \(b\) son los catetos de un triángulo rectángulo. Triángulo 1: - \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\) - \(5^2 = 25\) Triángulo 2: - \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\) - \(13^2 = 169\) Triángulo 3: - \(8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289\) - \(17^2 = 289\) Todos los triángulos cumplen con el teorema de Pitágoras; por lo tanto, todos son triángulos rectángulos.
Verification of Pythagorean Theorem in Triangles
Por supuesto, vamos a calcular el cuadrado de los tres lados de cada triángulo y verificar si se cumple el Teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado más largo del triángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (los catetos). Para el triángulo 1): a^2 = 2^2 = 4 b^2 = 3^2 = 9 c^2 = 13^2 = 169 Comprobación: a^2 + b^2 ≠ c^2 (4 + 9 ≠ 169), por lo que no cumple el Teorema de Pitágoras. Para el triángulo 2): a^2 = 8^2 = 64 b^2 = 6^2 = 36 c^2 = 10^2 = 100 Comprobación: a^2 + b^2 = c^2 (64 + 36 = 100), por lo que sí cumple el Teorema de Pitágoras. Para el triángulo 3): a^2 = 6^2 = 36 b^2 = 7^2 = 49 c^2 = 8^2 = 64 Comprobación: a^2 + b^2 ≠ c^2 (36 + 49 ≠ 64), por lo que no cumple el Teorema de Pitágoras. El único triángulo que cumple con el Teorema de Pitágoras es el triángulo número 2).
Calculation of Hypotenuse Using Pythagorean Theorem
La imagen muestra tres triángulos, y la instrucción pide calcular el cuadrado de los tres lados de cada triángulo y comprobar que se cumple el Teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Vamos a resolver cada triángulo por separado: 1) Para el primer triángulo: - Lado a = 13 cm - Lado b = 84 cm Aplicamos el Teorema de Pitágoras: \(a^2 + b^2 = c^2\) \(13^2 + 84^2 = c^2\) \(169 + 7056 = c^2\) \(7225 = c^2\) \(c = \sqrt{7225}\) \(c = 85 cm\) 2) Para el segundo triángulo: - Lado a = 50 cm - Lado b = 120 cm Aplicamos el Teorema de Pitágoras: \(a^2 + b^2 = c^2\) \(50^2 + 120^2 = c^2\) \(2500 + 14400 = c^2\) \(16900 = c^2\) \(c = \sqrt{16900}\) \(c = 130 cm\) 3) Para el tercer triángulo: - Lado a = 45 cm - Lado b = 28 cm Aplicamos el Teorema de Pitágoras: \(a^2 + b^2 = c^2\) \(45^2 + 28^2 = c^2\) \(2025 + 784 = c^2\) \(2809 = c^2\) \(c = \sqrt{2809}\) \(c = 53 cm\) De este modo, hemos calculado la hipotenusa de los tres triángulos y verificado que se cumple el Teorema de Pitágoras en cada caso.
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