Example Question - existence and uniqueness theorem
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Solving a Differential Equation and Identifying Points Affecting Existence and Uniqueness Theorem
<p>La ecuación diferencial proporcionada es:</p> <p>\[\frac{dP}{dt} = P(1 - P)\]</p> <p>Para resolverla, se separan las variables y se integra ambos lados:</p> <p>\[\int \frac{1}{P(1 - P)}dP = \int dt\]</p> <p>Usando descomposición en fracciones parciales:</p> <p>\[\int \left(\frac{1}{P} + \frac{1}{1 - P}\right)dP = \int dt\]</p> <p>\[\ln|P| - \ln|1 - P| = t + C\]</p> <p>Exponenciando ambos lados para eliminar el logaritmo, obtenemos:</p> <p>\[|P| = |1-P|e^{t+C}\]</p> <p>Donde \( C \) es la constante de integración que puede determinarse si conocemos una condición inicial \( P(t_0) = P_0 \).</p> <p>En cuanto al teorema de existencia y unicidad, este podría no garantizarse en los puntos donde el denominador de la función \( \frac{1}{P(1 - P)} \) se anule, es decir, cuando \( P = 0 \) o \( P = 1 \). Por lo tanto, al menos en los puntos \( (x, y) \) que correspondan a \( P = 0 \) o \( P = 1 \), el teorema de existencia y unicidad podría no estar garantizado.</p>
Differential Equation Existence and Uniqueness Theorem
<p>La ecuación diferencial dada es:</p> <p>\[\frac{dP}{dt} = P(1 - P)\]</p> <p>Para resolverla, primero la vamos a separar las variables \(P\) y \(t\):</p> <p>\[\frac{dP}{P(1 - P)} = dt\]</p> <p>La integral de la izquierda se realiza separando en fracciones parciales:</p> <p>\[\int \frac{1}{P} + \int \frac{1}{1 - P} \, dP = \int \, dt\]</p> <p>\[ \ln|P| - \ln|1 - P| = t + C\]</p> <p>Para simplificar, expresamos \( C \) como \( \ln|C_1| \) donde \( C_1 > 0 \):</p> <p>\[\ln\left|\frac{P}{1 - P}\right| = t + \ln|C_1|\]</p> <p>Entonces,</p> <p>\[\frac{P}{1 - P} = \pm C_1e^t\]</p> <p>Donde la constante \( C_1e^t \) es positiva ya que el exponente de \( e \) es una función real. Por lo tanto, no necesitamos el signo \( \pm \). Supongamos \( C_1e^t = C_2 \) donde \( C_2 > 0 \):</p> <p>\[\frac{P}{1 - P} = C_2\]</p> <p>Resolviendo para \( P \):</p> <p>\[P = \frac{C_2}{1 + C_2}\]</p> <p>Esta es la solución de la ecuación diferencial.</p> <p>El teorema de existencia y unicidad garantiza que una solución es única si la función es Lipschitz continua. En este caso, la función \( f(P) = P(1 - P) \) es continua y tiene una derivada continua para todo \( P \) excepto \( P = 1 \) donde la función no está definida. Por lo tanto, alrededor de todo punto \((x_0, y_0)\) donde \( y_0 \neq 1 \), la unicidad y existencia están garantizadas. Cuando \( y_0 = 1 \), no podemos aplicar el teorema para garantizar la unicidad y existencia.</p>
Identifying Points where the Existence and Uniqueness Theorem Fails for a Differential Equation
<p>La ecuación diferencial dada es:</p> <p>\[\frac{dP}{dt} = P(1 - P)\]</p> <p>Para aplicar el teorema de existencia y unicidad, las funciones en la ecuación diferencial, así como sus derivadas parciales, deben ser continuas cerca del punto (t_0, P_0). La función \( f(P) = P(1 - P) \) es continua para todo \( P \), y su derivada parcial con respecto a \( P \), \( f'(P) = 1 - 2P \), también es continua para todo \( P \).</p> <p>Como consecuencia, no hay puntos \((t, P)\) donde el teorema de existencia y unicidad no pueda garantizarse para esta ecuación diferencial. Es decir, para cualquier punto \((t_0, P_0)\) dado, habrá una única solución que pase por ese punto.</p>
Differential Equation with Existence and Uniqueness Theorem Condition
La ecuación diferencial proporcionada es una ecuación de variables separables. Se procede a resolverla de la siguiente manera: \[ \frac{dP}{dt} = k(P_1 - P) \] Primero, separamos las variables \(P\) y \(t\) en lados opuestos de la ecuación: \[ \frac{dP}{P_1 - P} = k \, dt \] Ahora, integramos ambos lados para obtener: \[ \int \frac{dP}{P_1 - P} = \int k \, dt \] Usamos la sustitución de variables \(u = P_1 - P\), entonces \(du = -dP\), y reescribimos la integral del lado izquierdo para que quede: \[ -\int \frac{du}{u} = kt + C \] Al integrar obtenemos: \[ -\ln |u| = kt + C \] Volviendo a las variables originales: \[ -\ln |P_1 - P| = kt + C \] Exponenciando ambos lados para despejar \(P\): \[ |P_1 - P| = e^{-kt}e^C \] Definimos una nueva constante \(C' = e^C\), y dado que el valor absoluto puede ser positivo o negativo, escribimos: \[ P_1 - P = \pm C'e^{-kt} \] Si consideramos \(P_1 - P\) positivo, obtenemos: \[ P = P_1 - C'e^{-kt} \] La constante \(C'\) se determinará por una condición inicial de la forma \(P(t_0) = P_0\). En cuanto al punto \((x,y)\) donde el teorema de existencia y unicidad no puede garantizarse, podemos decir que esto ocurrirá en un punto donde la función no sea continua o no se cumplan las condiciones de Lipschitz. En la ecuación dada, un punto problemático sería \((P_1, t)\), para cualquier valor de \(t\), ya que \(P_1 - P\) se anularía, y la primera derivada no estaría definida. Esto violaría las condiciones necesarias para aplicar el teorema de existencia y unicidad en dicho punto.
Differential Equation Existence and Uniqueness Theorem Condition
<p>La ecuación diferencial dada es:</p> <p>\[\frac{dP}{dt} = P(1 - P)\]</p> <p>Esta es una ecuación diferencial ordinaria separable y podemos resolverla de la siguiente manera:</p> <p>\[\int \frac{1}{P(1 - P)} dP = \int dt\]</p> <p>Para resolver la integral del lado izquierdo, dividimos el numerador usando fracciones parciales:</p> <p>\[\frac{1}{P(1 - P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{1 - P}\]</p> <p>Al resolver para A y B, encontramos \(A = 1\) y \(B = 1\). Por lo tanto:</p> <p>\[\int \left( \frac{1}{P} + \frac{1}{1 - P} \right) dP = \int dt\]</p> <p>Integrando ambos lados obtenemos:</p> <p>\[\ln|P| - \ln|1 - P| = t + C\]</p> <p>Dónde C es la constante de integración. Podemos escribir la solución como:</p> <p>\[\ln\left|\frac{P}{1 - P}\right| = t + C\]</p> <p>Exponenciado ambos lados para resolver para P:</p> <p>\[\frac{P}{1 - P} = e^{t + C}\]</p> <p>\[P = (1 - P)e^{t + C}\]</p> <p>\[P + Pe^{t + C} = e^{t + C}\]</p> <p>\[P(1 + e^{t + C}) = e^{t + C}\]</p> <p>\[P = \frac{e^{t + C}}{1 + e^{t + C}}\]</p> <p>\[P = \frac{1}{1 + e^{-t - C}}\]</p> <p>Para determinar puntos (x,y) donde el teorema de existencia y unicidad no pueda garantizarse, buscamos los puntos donde las derivadas parciales de la función \(f(t, P) = P(1 - P)\) no son continuas. En este caso, como la función y todas sus derivadas parciales con respecto a P son continuas para todo P, el teorema de existencia y unicidad es válido para cualquier punto \( (t, P) \) en el plano (t,P).</p>
Differential Equation and Existence-Uniqueness Theorem
<p>La ecuación diferencial dada es: \[\frac{dP}{dt}=P(1-P)\]</p> <p>Para resolver esta ecuación diferencial, podemos separar variables para obtener:</p> <p>\[\int \frac{1}{P(1-P)} dP = \int dt\]</p> <p>Con una descomposición en fracciones parciales, obtenemos:</p> <p>\[\int \left(\frac{1}{P} + \frac{1}{1-P}\right)dP = \int dt\]</p> <p>Integrando ambos lados, tenemos:</p> <p>\[\ln|P| - \ln|1-P| = t + C\]</p> <p>Donde \(C\) es la constante de integración.</p> <p>Podemos resolver para \(P(t)\) por exponente de ambos lados:</p> <p>\[e^{\ln|P| - \ln|1-P|} = e^{t+C}\]</p> <p>\[\frac{P}{1-P} = e^{t+C}\]</p> <p>\[P = (1-P)e^{t+C}\]</p> <p>\[P + Pe^{t+C} = e^{t+C}\]</p> <p>\[P(1 + e^{t+C}) = e^{t+C}\]</p> <p>\[P = \frac{e^{t+C}}{1 + e^{t+C}}\]</p> <p>Finalmente, escribimos \(P\) en términos de la variable original \(t\):</p> <p>\[P(t) = \frac{e^{t+C}}{1 + e^{t+C}}\]</p> <p>Para el teorema de existencia y unicidad, necesitamos que \(f(P,t) = P(1 - P)\) y su derivada parcial \(\frac{\partial f}{\partial P}\) sean continuas respecto a \(P\) en un entorno del punto \((t_0, P_0)\).</p> <p>En este caso, \(\frac{\partial f}{\partial P} = 1 - 2P\) es continua para todo \(P\), por lo que el teorema de existencia y unicidad se cumple para cualquier punto \((t, P)\) en el plano \((t,P)\). No hay un punto \((x,y)\) tal que el teorema de existencia y unicidad no pueda garantizarse.</p>
Differential Equation with Existence and Uniqueness Theorem Consideration
<p>La ecuación diferencial dada es $\frac{dP}{dt} = P(1 - P)$. Primero, vamos a resolver la ecuación diferencial.</p> <p>Separación de variables:</p> <p>\[\frac{dP}{P(1-P)} = dt\]</p> <p>Para integrar la parte izquierda, usamos fracciones parciales:</p> <p>\[\frac{1}{P(1-P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{1-P}\]</p> <p>Donde $A$ y $B$ son constantes que necesitamos hallar. Encontramos que $A = B = 1$ al resolver la ecuación $1 = A(1-P) + BP$. Así que:</p> <p>\[\int \frac{dP}{P} + \int \frac{dP}{1-P} = \int dt\]</p> <p>\[\ln |P| - \ln |1 - P| = t + C\]</p> <p>Donde $C$ es la constante de integración. Para hallarla necesitaríamos una condición inicial, pero como no se proporciona, dejamos la solución en términos de la constante $C$.</p> <p>En cuanto a dónde el teorema de existencia y unicidad no se puede garantizar, necesitamos buscar valores donde la función $f(P) = P(1 - P)$ o su derivada respecto a $P$ no sean continuas. Dado que $f(P)$ y su derivada $\frac{df}{dP} = 1 - 2P$ son continuas para todos los valores reales de $P$, el teorema de existencia y unicidad se garantiza para todos los puntos en el plano $(t, P)$. No hay un punto $(x, y)$ especificado en la pregunta donde el teorema no se pueda garantizar.</p>
Differential Equation and Existence-Uniqueness Theorem
La ecuación diferencial proporcionada es: \[ \frac{dP}{dt} = P(1 - P) \] Para resolverla, podemos separar las variables \(P\) y \(t\): \[ \frac{1}{P(1 - P)} dP = dt \] Integrando ambos lados obtenemos: \[ \int \frac{1}{P(1 - P)} dP = \int dt \] La fracción del lado izquierdo se puede descomponer en fracciones parciales: \[ \frac{1}{P(1 - P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{1 - P} \] Al resolver para \(A\) y \(B\), encontramos que \(A = 1\) y \(B = 1\). Por lo tanto, la integral se convierte en: \[ \int \left( \frac{1}{P} + \frac{1}{1 - P} \right) dP = t + C \] Las integrales de las fracciones se pueden calcular como: \[ \ln|P| - \ln|1 - P| = t + C \] Resolver para \(P\): \[ \ln\left|\frac{P}{1 - P}\right| = t + C \] Tomando la exponencial de ambos lados para deshacernos del logaritmo natural: \[ \frac{P}{1 - P} = e^{t + C} \] Donde \(e^{C}\) es una nueva constante que podemos llamar \(C_1\) para simplificar: \[ P = \frac{e^{t + C}}{1 + e^{t + C}} = \frac{C_1e^{t}}{1 + C_1e^{t}} \] Con respecto al teorema de existencia y unicidad, para una ecuación diferencial de primer orden de la forma \(y' = f(x,y)\), si \(f(x,y)\) y \(\partial f/\partial y\) son continuas en una región que contiene al punto \((x_0, y_0)\), entonces existe una solución única que pasa por ese punto. En esta ecuación \(f(P) = P(1 - P)\) es continua y la derivada parcial \(\partial f/\partial P = 1 - 2P\) también es continua para todo \(P\), por lo que el teorema de existencia y unicidad garantiza que para cualquier valor inicial \(P_0\) existe una solución única en algún intervalo alrededor de \(t_0\). Sin embargo, se nos pide mencionar un punto \((x_0, y_0)\) donde el teorema de existencia y unicidad no pueda garantizarse. No hay tal punto en este caso porque ambas \(f(P)\) y \(\partial f/\partial P\) son continuas para todos los reales \(P\).
Solving a First-Order Differential Equation
<p>La ecuación diferencial dada es:</p> <p>\[\frac{dP}{dt} = P(1 - P)\]</p> <p>Para resolverla, podemos separar las variables P y t:</p> <p>\[\frac{1}{P(1 - P)} dP = dt\]</p> <p>Integramos ambos lados:</p> <p>\[\int \frac{1}{P(1 - P)} dP = \int dt\]</p> <p>Para resolver la integral del lado izquierdo, realizamos una descomposición en fracciones parciales:</p> <p>\[\frac{1}{P(1 - P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{1 - P}\]</p> <p>Al resolver para A y B, encontramos que A = 1 y B = 1, por lo tanto:</p> <p>\[\int \left( \frac{1}{P} + \frac{1}{1 - P} \right) dP = \int dt\]</p> <p>Integramos cada término:</p> <p>\[\ln|P| - \ln|1 - P| = t + C\]</p> <p>Para despejar P, exponentiamos ambos lados:</p> <p>\[e^{\ln|P| - \ln|1 - P|} = e^{t + C}\]</p> <p>\[|P| / |1 - P| = e^{t}e^{C}\]</p> <p>Donde e^C es una constante que llamaremos C1:</p> <p>\[|P| / |1 - P| = C1e^{t}\]</p> <p>Despejamos P:</p> <p>\[P = \frac{C1e^{t}}{1 + C1e^{t}}\]</p> <p>El signo del valor absoluto depende de las condiciones iniciales dadas para P. Si aplicamos una condición inicial de la forma \( P(0) = P_0 \), resolveríamos para \( C1 \) y obtendríamos la solución particular.</p> <p>El teorema de existencia y unicidad no puede garantizarse sin una condición inicial. Sin embargo, si P(0) = 0 o P(0) = 1, entonces el teorema de existencia y unicidad no se puede aplicar porque el denominador de dP/dt se haría cero, lo que llevaría a una división por cero en la derivada.</p>
Solving a Differential Equation and Identifying Singularity Points
Dada la ecuación diferencial: \[ \frac{dP}{dt} = P(K_1 - P); \] Separaremos las variables y luego integraremos ambos lados: \[ \frac{1}{P(K_1 - P)}dP = dt; \] Para integrar el lado izquierdo, aplicamos fracciones parciales: \[ \frac{1}{P(K_1 - P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{K_1 - P}; \] Sumamos las fracciones y resolvemos para \( A \) y \( B \): \[ \frac{A(K_1 - P) + BP}{P(K_1 - P)} = \frac{1}{P(K_1 - P)}; \] Igualando coeficientes, obtenemos \( A = 1/K_1 \) y \( B = -1/K_1 \). Sustituimos estos valores de vuelta en la integral: \[ \int \frac{1}{K_1P} - \frac{1}{K_1(K_1 - P)} dP = \int dt; \] Al integrar encontramos: \[ \frac{1}{K_1}\ln{|P|} - \frac{1}{K_1}\ln{|K_1 - P|} = t + C; \] Aplicamos la propiedad de los logaritmos para combinar los logaritmos: \[ \ln{\left|\frac{P}{K_1 - P}\right|} = K_1(t + C); \] Exponenciamos ambos lados para eliminar el logaritmo y simplificar para \( P \): \[ \left|\frac{P}{K_1 - P}\right| = e^{K_1(t + C)}; \] \[ \frac{P}{K_1 - P} = \pm e^{K_1(t + C)}; \] \[ P = (K_1 - P) (\pm e^{K_1(t + C)}); \] \[ P = \pm K_1 e^{K_1(t + C)} \mp P e^{K_1(t + C)}; \] \[ P(1 \pm e^{K_1(t + C)}) = \pm K_1 e^{K_1(t + C)}; \] Si no consideramos los puntos singulares, podemos aislar \( P \): \[ P = \frac{\pm K_1 e^{K_1(t + C)}}{1 \pm e^{K_1(t + C)}}; \] De aquí podemos ver que hay al menos un punto \((t, P)\) donde el teorema de existencia y unicidad no podría garantizarse, y ese es cuando \( P = K_1 \), ya que el denominador se vuelve cero, lo que indica un punto donde la solución no está definida o no es única.
Solving a Differential Equation with a Specific Condition
<p>La ecuación diferencial dada es $\frac{dP}{dt} = P(K_1 - P)$. Para resolverla, primero la reescribiremos en la forma separable:</p> <p>$\frac{dP}{P(K_1 - P)} = dt$</p> <p>Integrando ambos lados obtenemos:</p> <p>$\int \frac{1}{P(K_1 - P)} dP = \int dt$</p> <p>Para facilitar la integración del lado izquierdo, usamos fracciones parciales:</p> <p>$\frac{1}{P(K_1 - P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{K_1 - P}$</p> <p>Resolviendo para A y B, obtenemos $A = \frac{1}{K_1}$ y $B = \frac{1}{K_1}$, entonces:</p> <p>$\int \left( \frac{1}{K_1P} + \frac{1}{K_1(K_1 - P)} \right) dP = \int dt$</p> <p>Integrando ambos lados, nos queda:</p> <p>$\frac{1}{K_1} \ln |P| - \frac{1}{K_1} \ln |K_1 - P| = t + C$</p> <p>Aislando la variable P se obtiene:</p> <p>$\ln \left| \frac{P}{K_1 - P} \right| = K_1(t + C)$</p> <p>$\frac{P}{K_1 - P} = e^{K_1(t + C)}$</p> <p>$P = (K_1 - P)e^{K_1(t + C)}$</p> <p>$P + Pe^{K_1(t + C)} = K_1e^{K_1(t + C)}$</p> <p>$P(1 + e^{K_1(t + C)}) = K_1e^{K_1(t + C)}$</p> <p>$P = \frac{K_1e^{K_1(t + C)}}{1 + e^{K_1(t + C)}}$</p> <p>Supongamos que $C' = e^{K_1C}$, entonces:</p> <p>$P = \frac{K_1C'e^{K_1t}}{1 + C'e^{K_1t}}$</p> <p>Este es el resultado de la ecuación diferencial dada.</p> <p>Ahora, el teorema de existencia y unicidad no puede garantizarse si el denominador de la derivada se hace cero, ya que esto implicaría una división por cero. Por lo tanto, se busca un punto $(t, P)$ donde $P(K_1 - P) = 0$. Esto ocurre cuando $P = 0$ o $P = K_1$. Así, cada punto de la forma $(t, 0)$ o $(t, K_1)$ para cualquier valor de $t$ será un punto donde el teorema no se aplicará, ya que la función derivada no está definida o no es continua en esos puntos.</p>
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