Question - Solving a Differential Equation with a Specific Condition

La ecuación diferencial dada es $\frac{dP}{dt} = P(K_1 - P)$. Para resolverla, primero la reescribiremos en la forma separable:

$\frac{dP}{P(K_1 - P)} = dt$

Integrando ambos lados obtenemos:

$\int \frac{1}{P(K_1 - P)} dP = \int dt$

Para facilitar la integración del lado izquierdo, usamos fracciones parciales:

$\frac{1}{P(K_1 - P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{K_1 - P}$

Resolviendo para A y B, obtenemos $A = \frac{1}{K_1}$ y $B = \frac{1}{K_1}$, entonces:

$\int \left( \frac{1}{K_1P} + \frac{1}{K_1(K_1 - P)} \right) dP = \int dt$

Integrando ambos lados, nos queda:

$\frac{1}{K_1} \ln |P| - \frac{1}{K_1} \ln |K_1 - P| = t + C$

Aislando la variable P se obtiene:

$\ln \left| \frac{P}{K_1 - P} \right| = K_1(t + C)$

$\frac{P}{K_1 - P} = e^{K_1(t + C)}$

$P = (K_1 - P)e^{K_1(t + C)}$

$P + Pe^{K_1(t + C)} = K_1e^{K_1(t + C)}$

$P(1 + e^{K_1(t + C)}) = K_1e^{K_1(t + C)}$

$P = \frac{K_1e^{K_1(t + C)}}{1 + e^{K_1(t + C)}}$

Supongamos que $C' = e^{K_1C}$, entonces:

$P = \frac{K_1C'e^{K_1t}}{1 + C'e^{K_1t}}$

Este es el resultado de la ecuación diferencial dada.

Ahora, el teorema de existencia y unicidad no puede garantizarse si el denominador de la derivada se hace cero, ya que esto implicaría una división por cero. Por lo tanto, se busca un punto $(t, P)$ donde $P(K_1 - P) = 0$. Esto ocurre cuando $P = 0$ o $P = K_1$. Así, cada punto de la forma $(t, 0)$ o $(t, K_1)$ para cualquier valor de $t$ será un punto donde el teorema no se aplicará, ya que la función derivada no está definida o no es continua en esos puntos.