Question - Differential Equation with Existence and Uniqueness Theorem Condition
mathdifferential equationinitial value problemseparation of variablesexistence and uniqueness theorem
Solution:
La ecuación diferencial proporcionada es una ecuación de variables separables. Se procede a resolverla de la siguiente manera:
\[
\frac{dP}{dt} = k(P_1 - P)
\]
Primero, separamos las variables \(P\) y \(t\) en lados opuestos de la ecuación:
\[
\frac{dP}{P_1 - P} = k \, dt
\]
Ahora, integramos ambos lados para obtener:
\[
\int \frac{dP}{P_1 - P} = \int k \, dt
\]
Usamos la sustitución de variables \(u = P_1 - P\), entonces \(du = -dP\), y reescribimos la integral del lado izquierdo para que quede:
\[
-\int \frac{du}{u} = kt + C
\]
Al integrar obtenemos:
\[
-\ln |u| = kt + C
\]
Volviendo a las variables originales:
\[
-\ln |P_1 - P| = kt + C
\]
Exponenciando ambos lados para despejar \(P\):
\[
|P_1 - P| = e^{-kt}e^C
\]
Definimos una nueva constante \(C' = e^C\), y dado que el valor absoluto puede ser positivo o negativo, escribimos:
\[
P_1 - P = \pm C'e^{-kt}
\]
Si consideramos \(P_1 - P\) positivo, obtenemos:
\[
P = P_1 - C'e^{-kt}
\]
La constante \(C'\) se determinará por una condición inicial de la forma \(P(t_0) = P_0\). En cuanto al punto \((x,y)\) donde el teorema de existencia y unicidad no puede garantizarse, podemos decir que esto ocurrirá en un punto donde la función no sea continua o no se cumplan las condiciones de Lipschitz. En la ecuación dada, un punto problemático sería \((P_1, t)\), para cualquier valor de \(t\), ya que \(P_1 - P\) se anularía, y la primera derivada no estaría definida. Esto violaría las condiciones necesarias para aplicar el teorema de existencia y unicidad en dicho punto.
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