Question - Differential Equation and Existence-Uniqueness Theorem

La ecuación diferencial dada es: \[\frac{dP}{dt}=P(1-P)\]

Para resolver esta ecuación diferencial, podemos separar variables para obtener:

\[\int \frac{1}{P(1-P)} dP = \int dt\]

Con una descomposición en fracciones parciales, obtenemos:

\[\int \left(\frac{1}{P} + \frac{1}{1-P}\right)dP = \int dt\]

Integrando ambos lados, tenemos:

\[\ln|P| - \ln|1-P| = t + C\]

Donde \(C\) es la constante de integración.

Podemos resolver para \(P(t)\) por exponente de ambos lados:

\[e^{\ln|P| - \ln|1-P|} = e^{t+C}\]

\[\frac{P}{1-P} = e^{t+C}\]

\[P = (1-P)e^{t+C}\]

\[P + Pe^{t+C} = e^{t+C}\]

\[P(1 + e^{t+C}) = e^{t+C}\]

\[P = \frac{e^{t+C}}{1 + e^{t+C}}\]

Finalmente, escribimos \(P\) en términos de la variable original \(t\):

\[P(t) = \frac{e^{t+C}}{1 + e^{t+C}}\]

Para el teorema de existencia y unicidad, necesitamos que \(f(P,t) = P(1 - P)\) y su derivada parcial \(\frac{\partial f}{\partial P}\) sean continuas respecto a \(P\) en un entorno del punto \((t_0, P_0)\).

En este caso, \(\frac{\partial f}{\partial P} = 1 - 2P\) es continua para todo \(P\), por lo que el teorema de existencia y unicidad se cumple para cualquier punto \((t, P)\) en el plano \((t,P)\). No hay un punto \((x,y)\) tal que el teorema de existencia y unicidad no pueda garantizarse.