Question - Differential Equation and Existence-Uniqueness Theorem
mathdifferential equationinitial value problemexistence and uniqueness theoremsolution of differential equations
Solution:
La ecuación diferencial proporcionada es:
\[
\frac{dP}{dt} = P(1 - P)
\]
Para resolverla, podemos separar las variables \(P\) y \(t\):
\[
\frac{1}{P(1 - P)} dP = dt
\]
Integrando ambos lados obtenemos:
\[
\int \frac{1}{P(1 - P)} dP = \int dt
\]
La fracción del lado izquierdo se puede descomponer en fracciones parciales:
\[
\frac{1}{P(1 - P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{1 - P}
\]
Al resolver para \(A\) y \(B\), encontramos que \(A = 1\) y \(B = 1\). Por lo tanto, la integral se convierte en:
\[
\int \left( \frac{1}{P} + \frac{1}{1 - P} \right) dP = t + C
\]
Las integrales de las fracciones se pueden calcular como:
\[
\ln|P| - \ln|1 - P| = t + C
\]
Resolver para \(P\):
\[
\ln\left|\frac{P}{1 - P}\right| = t + C
\]
Tomando la exponencial de ambos lados para deshacernos del logaritmo natural:
\[
\frac{P}{1 - P} = e^{t + C}
\]
Donde \(e^{C}\) es una nueva constante que podemos llamar \(C_1\) para simplificar:
\[
P = \frac{e^{t + C}}{1 + e^{t + C}} = \frac{C_1e^{t}}{1 + C_1e^{t}}
\]
Con respecto al teorema de existencia y unicidad, para una ecuación diferencial de primer orden de la forma \(y' = f(x,y)\), si \(f(x,y)\) y \(\partial f/\partial y\) son continuas en una región que contiene al punto \((x_0, y_0)\), entonces existe una solución única que pasa por ese punto. En esta ecuación \(f(P) = P(1 - P)\) es continua y la derivada parcial \(\partial f/\partial P = 1 - 2P\) también es continua para todo \(P\), por lo que el teorema de existencia y unicidad garantiza que para cualquier valor inicial \(P_0\) existe una solución única en algún intervalo alrededor de \(t_0\).
Sin embargo, se nos pide mencionar un punto \((x_0, y_0)\) donde el teorema de existencia y unicidad no pueda garantizarse. No hay tal punto en este caso porque ambas \(f(P)\) y \(\partial f/\partial P\) son continuas para todos los reales \(P\).
Tutor Solution:
Para poder ofrecerte la mejor ayuda con la ecuación diferencial que presentaste, necesito que me proporciones la imagen nuevamente, ya que no se adjuntó en tu mensaje anterior. Una vez proporcionada, estaré encantado de guiarte a través de cada uno de los pasos necesarios para resolverla.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com