Question - Differential Equation with Existence and Uniqueness Theorem Consideration

La ecuación diferencial dada es $\frac{dP}{dt} = P(1 - P)$. Primero, vamos a resolver la ecuación diferencial.

Separación de variables:

\[\frac{dP}{P(1-P)} = dt\]

Para integrar la parte izquierda, usamos fracciones parciales:

\[\frac{1}{P(1-P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{1-P}\]

Donde $A$ y $B$ son constantes que necesitamos hallar. Encontramos que $A = B = 1$ al resolver la ecuación $1 = A(1-P) + BP$. Así que:

\[\int \frac{dP}{P} + \int \frac{dP}{1-P} = \int dt\]

\[\ln |P| - \ln |1 - P| = t + C\]

Donde $C$ es la constante de integración. Para hallarla necesitaríamos una condición inicial, pero como no se proporciona, dejamos la solución en términos de la constante $C$.

En cuanto a dónde el teorema de existencia y unicidad no se puede garantizar, necesitamos buscar valores donde la función $f(P) = P(1 - P)$ o su derivada respecto a $P$ no sean continuas. Dado que $f(P)$ y su derivada $\frac{df}{dP} = 1 - 2P$ son continuas para todos los valores reales de $P$, el teorema de existencia y unicidad se garantiza para todos los puntos en el plano $(t, P)$. No hay un punto $(x, y)$ especificado en la pregunta donde el teorema no se pueda garantizar.