Solution:
Dada la ecuación diferencial:
\[
\frac{dP}{dt} = P(K_1 - P);
\]
Separaremos las variables y luego integraremos ambos lados:
\[
\frac{1}{P(K_1 - P)}dP = dt;
\]
Para integrar el lado izquierdo, aplicamos fracciones parciales:
\[
\frac{1}{P(K_1 - P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{K_1 - P};
\]
Sumamos las fracciones y resolvemos para \( A \) y \( B \):
\[
\frac{A(K_1 - P) + BP}{P(K_1 - P)} = \frac{1}{P(K_1 - P)};
\]
Igualando coeficientes, obtenemos \( A = 1/K_1 \) y \( B = -1/K_1 \). Sustituimos estos valores de vuelta en la integral:
\[
\int \frac{1}{K_1P} - \frac{1}{K_1(K_1 - P)} dP = \int dt;
\]
Al integrar encontramos:
\[
\frac{1}{K_1}\ln{|P|} - \frac{1}{K_1}\ln{|K_1 - P|} = t + C;
\]
Aplicamos la propiedad de los logaritmos para combinar los logaritmos:
\[
\ln{\left|\frac{P}{K_1 - P}\right|} = K_1(t + C);
\]
Exponenciamos ambos lados para eliminar el logaritmo y simplificar para \( P \):
\[
\left|\frac{P}{K_1 - P}\right| = e^{K_1(t + C)};
\]
\[
\frac{P}{K_1 - P} = \pm e^{K_1(t + C)};
\]
\[
P = (K_1 - P) (\pm e^{K_1(t + C)});
\]
\[
P = \pm K_1 e^{K_1(t + C)} \mp P e^{K_1(t + C)};
\]
\[
P(1 \pm e^{K_1(t + C)}) = \pm K_1 e^{K_1(t + C)};
\]
Si no consideramos los puntos singulares, podemos aislar \( P \):
\[
P = \frac{\pm K_1 e^{K_1(t + C)}}{1 \pm e^{K_1(t + C)}};
\]
De aquí podemos ver que hay al menos un punto \((t, P)\) donde el teorema de existencia y unicidad no podría garantizarse, y ese es cuando \( P = K_1 \), ya que el denominador se vuelve cero, lo que indica un punto donde la solución no está definida o no es única.