Question - Solving a Differential Equation and Identifying Singularity Points

Solution:

Dada la ecuación diferencial: \[ \frac{dP}{dt} = P(K_1 - P); \] Separaremos las variables y luego integraremos ambos lados: \[ \frac{1}{P(K_1 - P)}dP = dt; \] Para integrar el lado izquierdo, aplicamos fracciones parciales: \[ \frac{1}{P(K_1 - P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{K_1 - P}; \] Sumamos las fracciones y resolvemos para \( A \) y \( B \): \[ \frac{A(K_1 - P) + BP}{P(K_1 - P)} = \frac{1}{P(K_1 - P)}; \] Igualando coeficientes, obtenemos \( A = 1/K_1 \) y \( B = -1/K_1 \). Sustituimos estos valores de vuelta en la integral: \[ \int \frac{1}{K_1P} - \frac{1}{K_1(K_1 - P)} dP = \int dt; \] Al integrar encontramos: \[ \frac{1}{K_1}\ln{|P|} - \frac{1}{K_1}\ln{|K_1 - P|} = t + C; \] Aplicamos la propiedad de los logaritmos para combinar los logaritmos: \[ \ln{\left|\frac{P}{K_1 - P}\right|} = K_1(t + C); \] Exponenciamos ambos lados para eliminar el logaritmo y simplificar para \( P \): \[ \left|\frac{P}{K_1 - P}\right| = e^{K_1(t + C)}; \] \[ \frac{P}{K_1 - P} = \pm e^{K_1(t + C)}; \] \[ P = (K_1 - P) (\pm e^{K_1(t + C)}); \] \[ P = \pm K_1 e^{K_1(t + C)} \mp P e^{K_1(t + C)}; \] \[ P(1 \pm e^{K_1(t + C)}) = \pm K_1 e^{K_1(t + C)}; \] Si no consideramos los puntos singulares, podemos aislar \( P \): \[ P = \frac{\pm K_1 e^{K_1(t + C)}}{1 \pm e^{K_1(t + C)}}; \] De aquí podemos ver que hay al menos un punto \((t, P)\) donde el teorema de existencia y unicidad no podría garantizarse, y ese es cuando \( P = K_1 \), ya que el denominador se vuelve cero, lo que indica un punto donde la solución no está definida o no es única.

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