Question - Solving a Differential Equation and Identifying Points Affecting Existence and Uniqueness Theorem

La ecuación diferencial proporcionada es:

\[\frac{dP}{dt} = P(1 - P)\]

Para resolverla, se separan las variables y se integra ambos lados:

\[\int \frac{1}{P(1 - P)}dP = \int dt\]

Usando descomposición en fracciones parciales:

\[\int \left(\frac{1}{P} + \frac{1}{1 - P}\right)dP = \int dt\]

\[\ln|P| - \ln|1 - P| = t + C\]

Exponenciando ambos lados para eliminar el logaritmo, obtenemos:

\[|P| = |1-P|e^{t+C}\]

Donde \( C \) es la constante de integración que puede determinarse si conocemos una condición inicial \( P(t_0) = P_0 \).

En cuanto al teorema de existencia y unicidad, este podría no garantizarse en los puntos donde el denominador de la función \( \frac{1}{P(1 - P)} \) se anule, es decir, cuando \( P = 0 \) o \( P = 1 \). Por lo tanto, al menos en los puntos \( (x, y) \) que correspondan a \( P = 0 \) o \( P = 1 \), el teorema de existencia y unicidad podría no estar garantizado.