Question - Differential Equation Existence and Uniqueness Theorem Condition

La ecuación diferencial dada es:

\[\frac{dP}{dt} = P(1 - P)\]

Esta es una ecuación diferencial ordinaria separable y podemos resolverla de la siguiente manera:

\[\int \frac{1}{P(1 - P)} dP = \int dt\]

Para resolver la integral del lado izquierdo, dividimos el numerador usando fracciones parciales:

\[\frac{1}{P(1 - P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{1 - P}\]

Al resolver para A y B, encontramos \(A = 1\) y \(B = 1\). Por lo tanto:

\[\int \left( \frac{1}{P} + \frac{1}{1 - P} \right) dP = \int dt\]

Integrando ambos lados obtenemos:

\[\ln|P| - \ln|1 - P| = t + C\]

Dónde C es la constante de integración. Podemos escribir la solución como:

\[\ln\left|\frac{P}{1 - P}\right| = t + C\]

Exponenciado ambos lados para resolver para P:

\[\frac{P}{1 - P} = e^{t + C}\]

\[P = (1 - P)e^{t + C}\]

\[P + Pe^{t + C} = e^{t + C}\]

\[P(1 + e^{t + C}) = e^{t + C}\]

\[P = \frac{e^{t + C}}{1 + e^{t + C}}\]

\[P = \frac{1}{1 + e^{-t - C}}\]

Para determinar puntos (x,y) donde el teorema de existencia y unicidad no pueda garantizarse, buscamos los puntos donde las derivadas parciales de la función \(f(t, P) = P(1 - P)\) no son continuas. En este caso, como la función y todas sus derivadas parciales con respecto a P son continuas para todo P, el teorema de existencia y unicidad es válido para cualquier punto \( (t, P) \) en el plano (t,P).