Question - Differential Equation Existence and Uniqueness Theorem

La ecuación diferencial dada es:

\[\frac{dP}{dt} = P(1 - P)\]

Para resolverla, primero la vamos a separar las variables \(P\) y \(t\):

\[\frac{dP}{P(1 - P)} = dt\]

La integral de la izquierda se realiza separando en fracciones parciales:

\[\int \frac{1}{P} + \int \frac{1}{1 - P} \, dP = \int \, dt\]

\[ \ln|P| - \ln|1 - P| = t + C\]

Para simplificar, expresamos \( C \) como \( \ln|C_1| \) donde \( C_1 > 0 \):

\[\ln\left|\frac{P}{1 - P}\right| = t + \ln|C_1|\]

Entonces,

\[\frac{P}{1 - P} = \pm C_1e^t\]

Donde la constante \( C_1e^t \) es positiva ya que el exponente de \( e \) es una función real. Por lo tanto, no necesitamos el signo \( \pm \). Supongamos \( C_1e^t = C_2 \) donde \( C_2 > 0 \):

\[\frac{P}{1 - P} = C_2\]

Resolviendo para \( P \):

\[P = \frac{C_2}{1 + C_2}\]

Esta es la solución de la ecuación diferencial.

El teorema de existencia y unicidad garantiza que una solución es única si la función es Lipschitz continua. En este caso, la función \( f(P) = P(1 - P) \) es continua y tiene una derivada continua para todo \( P \) excepto \( P = 1 \) donde la función no está definida. Por lo tanto, alrededor de todo punto \((x_0, y_0)\) donde \( y_0 \neq 1 \), la unicidad y existencia están garantizadas. Cuando \( y_0 = 1 \), no podemos aplicar el teorema para garantizar la unicidad y existencia.