Question - Solving a First-Order Differential Equation

Solution:

La ecuación diferencial dada es:

\[\frac{dP}{dt} = P(1 - P)\]

Para resolverla, podemos separar las variables P y t:

\[\frac{1}{P(1 - P)} dP = dt\]

Integramos ambos lados:

\[\int \frac{1}{P(1 - P)} dP = \int dt\]

Para resolver la integral del lado izquierdo, realizamos una descomposición en fracciones parciales:

\[\frac{1}{P(1 - P)} = \frac{A}{P} + \frac{B}{1 - P}\]

Al resolver para A y B, encontramos que A = 1 y B = 1, por lo tanto:

\[\int \left( \frac{1}{P} + \frac{1}{1 - P} \right) dP = \int dt\]

Integramos cada término:

\[\ln|P| - \ln|1 - P| = t + C\]

Para despejar P, exponentiamos ambos lados:

\[e^{\ln|P| - \ln|1 - P|} = e^{t + C}\]

\[|P| / |1 - P| = e^{t}e^{C}\]

Donde e^C es una constante que llamaremos C1:

\[|P| / |1 - P| = C1e^{t}\]

Despejamos P:

\[P = \frac{C1e^{t}}{1 + C1e^{t}}\]

El signo del valor absoluto depende de las condiciones iniciales dadas para P. Si aplicamos una condición inicial de la forma \( P(0) = P_0 \), resolveríamos para \( C1 \) y obtendríamos la solución particular.

El teorema de existencia y unicidad no puede garantizarse sin una condición inicial. Sin embargo, si P(0) = 0 o P(0) = 1, entonces el teorema de existencia y unicidad no se puede aplicar porque el denominador de dP/dt se haría cero, lo que llevaría a una división por cero en la derivada.

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