Example Question - elimination method
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving a System of Linear Equations Using Elimination Method
<p>To solve the system of equations:</p> <p>\[\begin{align*} 5x + 4y &= 58 \\ 3x + 7y &= 67 \end{align*}\]</p> <p>We can use the elimination method by multiplying the first equation by 7 and the second equation by -4 to eliminate \(y\):</p> <p>\[\begin{align*} 7(5x + 4y) &= 7 \cdot 58 \\ -4(3x + 7y) &= -4 \cdot 67 \end{align*}\]</p> <p>\[\begin{align*} 35x + 28y &= 406 \\ -12x - 28y &= -268 \end{align*}\]</p> <p>Add the two equations to eliminate \(y\):</p> <p>\[\begin{align*} (35x + 28y) + (-12x - 28y) &= 406 + (-268) \\ 23x &= 138 \end{align*}\]</p> <p>Divide by 23 to solve for \(x\):</p> <p>\[x = \frac{138}{23} = 6\]</p> <p>Now substitute \(x = 6\) into one of the original equations to find \(y\). We'll use the first equation:</p> <p>\[5(6) + 4y = 58\]</p> <p>\[30 + 4y = 58\]</p> <p>\[4y = 58 - 30\]</p> <p>\[4y = 28\]</p> <p>\[y = \frac{28}{4} = 7\]</p> <p>Therefore, the solution set is \((x, y) = (6, 7)\).</p>
Solving a System of Equations
이미지에 주어진 연립방정식을 풀기 위해서 다음과 같은 단계를 따르면 됩니다. 주어진 연립방정식은 다음과 같습니다. 1. ax - by = 8 2. bx + ay = 7 이 두 방정식으로부터 x와 y의 값을 구해야 합니다. 먼저, 첫 번째 방정식을 a로 나누면 x - (b/a)y = 8/a가 되고, 두 번째 방정식을 b로 나누면 x + (a/b)y = 7/b가 됩니다. 두 방정식을 더하면 다음과 같습니다. x - (b/a)y + x + (a/b)y = 8/a + 7/b 괄호 안의 y항을 상쇄시키기 위해 첫 번째 식에 b를, 두 번째 식에 a를 곱해서 y항의 계수를 같게 만듭니다. bx - by^2/a + ax + ay^2/b = 8b/a + 7a/b 이제 두 y항을 상쇄시키기 위해 더합니다. (b + a)x = 8b/a + 7a/b 단위 분수 법으로 우변을 계산하기 위해 통분을 합니다. (b + a)x = (8b^2 + 7a^2)/ab 이제 x에 대해 풉니다. x = (8b^2 + 7a^2)/ab(b + a) x = (8b + 7a)/(ab) 이제 x의 값을 구하려면 실제 계산을 하면 됩니다. y의 값을 구하기 위해서는 유사한 방법을 사용하면 됩니다. 첫 번째 방정식에서 x항을 피하고 두 번째 방정식에서 y항을 피하는 식으로 재배열하고, 각각 a, b로 나눈 후 더해서 y의 값을 구할 수 있습니다.
Solving a System of Equations with Two Variables
미안하지만, 이미지에 텍스트가 일부 가려져 있어 모든 정보를 정확히 알 수 없습니다. 하지만 제가 볼 수 있는 부분에서 주어진 두 방정식은 아래와 같습니다. 1) \( ax - by = 8 \) 2) \( bx + ay = 7 \) 이 두 방정식으로 두 변수 x와 y에 대한 해를 구해야 합니다. 이를 해결하기 위해서는 일반적으로 연립방정식의 해법을 사용합니다. 방정식을 풀기 위해서는, 먼저 한 변수에 대하여 다른 변수를 표현하거나, 두 방정식을 더하거나 빼서 한 변수를 제거하는 방법을 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 첫 번째 방정식을 a로 나누고 두 번째 방정식을 b로 나눈 뒤 두 식을 더하거나 빼서 한 변수를 소거할 수 있습니다. 더 자세한 정보나 이미지가 제대로 보일 수 있도록 하여 다시 질문해주시면 더 정확한 풀이를 제공할 수 있을 것입니다.
Solving System of Linear Equations by Elimination and Substitution
Vamos a resolver el sistema de ecuaciones lineales dado por eliminación o sustitución. El sistema está dado por: \( x_1 + 4x_2 - 2x_3 + 8x_4 = 12 \) \( x_2 - 7x_3 + 2x_4 = -4 \) \( 5x_3 - x_4 = 7 \) \( x_3 + 3x_4 = -5 \) Primero, podemos resolver las últimas dos ecuaciones para encontrar \(x_3\) y \(x_4\) dado que son más simples y solo contienen dos incógnitas. Empecemos con la tercera y la cuarta ecuación: \( 5x_3 - x_4 = 7 \) \( x_3 + 3x_4 = -5 \) Multiplicamos la cuarta ecuación por 5 y la sumamos con la tercera para eliminar \(x_3\): \( 5(x_3 + 3x_4) = 5(-5) \) \( 5x_3 + 15x_4 = -25 \) Ahora sumamos esto a la tercera ecuación: \( 5x_3 + 15x_4 + 5x_3 - x_4 = 7 - 25 \) \( 10x_3 + 14x_4 = -18 \) Dividimos todo entre 2 para simplificar: \( 5x_3 + 7x_4 = -9 \) Ahora tenemos un sistema simplificado con las ecuaciones: \( 5x_3 - x_4 = 7 \) \( 5x_3 + 7x_4 = -9 \) Restamos la primera ecuación de la segunda para eliminar \(x_3\): \( (5x_3 + 7x_4) - (5x_3 - x_4) = -9 - 7 \) \( 8x_4 = -16 \) Dividimos ambos lados entre 8: \( x_4 = -2 \) Ahora, podemos sustituir \(x_4\) en la ecuación \( 5x_3 - x_4 = 7 \) para encontrar \(x_3\): \( 5x_3 - (-2) = 7 \) \( 5x_3 + 2 = 7 \) \( 5x_3 = 5 \) Dividimos ambos lados entre 5: \( x_3 = 1 \) Con \(x_3 = 1\) y \(x_4 = -2\), podemos ahora sustituir estos valores en las primeras dos ecuaciones del sistema original para obtener \(x_1\) y \(x_2\). Tomemos la primera ecuación: \( x_1 + 4x_2 - 2(1) + 8(-2) = 12 \) \( x_1 + 4x_2 - 2 - 16 = 12 \) \( x_1 + 4x_2 = 30 \) La segunda ecuación: \( x_2 - 7(1) + 2(-2) = -4 \) \( x_2 - 7 - 4 = -4 \) \( x_2 = -4 + 11 \) \( x_2 = 7 \) Finalmente, sustituimos \(x_2 = 7\) en la ecuación para encontrar \(x_1\): \( x_1 + 4(7) = 30 \) \( x_1 + 28 = 30 \) \( x_1 = 30 - 28 \) \( x_1 = 2 \) Por lo tanto, la solución del sistema es: \( x_1 = 2 \) \( x_2 = 7 \) \( x_3 = 1 \) \( x_4 = -2 \)
Solving a System of Linear Equations with 4 Variables
Claro, vamos a resolver el sistema de ecuaciones lineales dado en la imagen. Tenemos un sistema con 4 ecuaciones y 4 incógnitas, que se ve así: 1) \( x_1 + 4x_2 - 2x_3 + 8x_4 = 12 \) 2) \( x_2 - 7x_3 + 2x_4 = -4 \) 3) \( 5x_3 - x_4 = 7 \) 4) \( x_1 + 3x_2 + x_3 + 5x_4 = 6 \) Para resolver este sistema podemos usar el método de eliminación o sustitución, pero parece que el sistema de ecuaciones ya está parcialmente en forma escalonada, así que vamos a intentar resolverlo mediante sustitución o eliminación progresiva. Empezamos por la tercera ecuación, ya que tiene solo dos incógnitas: \( 5x_3 - x_4 = 7 \) Podemos despejar \( x_3 \) en términos de \( x_4 \): \( 5x_3 = 7 + x_4 \) \( x_3 = \frac{7 + x_4}{5} \) Ahora sustituimos \( x_3 \) en la segunda ecuación: \( x_2 - 7(\frac{7 + x_4}{5}) + 2x_4 = -4 \) Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 5 para eliminar el denominador: \( 5x_2 - 49 - 7x_4 + 10x_4 = -20 \) \( 5x_2 + 3x_4 = -20 + 49 \) \( 5x_2 + 3x_4 = 29 \) Despejamos \( x_2 \) en términos de \( x_4 \): \( 5x_2 = 29 - 3x_4 \) \( x_2 = \frac{29 - 3x_4}{5} \) Ahora sustituimos \( x_2 \) y \( x_3 \) en la primera ecuación: \( x_1 + 4(\frac{29 - 3x_4}{5}) - 2(\frac{7 + x_4}{5}) + 8x_4 = 12 \) Simplificamos y resolvemos para \( x_1 \): \( x_1 + \frac{116 - 12x_4}{5} - \frac{14 + 2x_4}{5} + 8x_4 = 12 \) \( x_1 + \frac{116 - 12x_4 - 14 - 2x_4}{5} + 8x_4 = 12 \) \( x_1 + \frac{102 - 14x_4}{5} + 8x_4 = 12 \) Multiplica ambos lados por 5 para deshacerte del denominador: \( 5x_1 + 102 - 14x_4 + 40x_4 = 60 \) \( 5x_1 + 26x_4 = -42 \) Despejamos \( x_1 \) en términos de \( x_4 \): \( 5x_1 = -42 - 26x_4 \) \( x_1 = \frac{-42 - 26x_4}{5} \) Finalmente, tenemos \( x_1, x_2, \) y \( x_3 \) en términos de \( x_4.\) Podemos utilizar la cuarta ecuación para encontrar una relación entre \( x_4 \) y las demás variables, pero a partir de aquí, hemos reducido el problema de cuatro variables a una variable. Sin un valor específico para \( x_4 \), no podemos encontrar una única solución al sistema; necesitaríamos más información o restricciones adicionales. Este es un sistema indeterminado o dependiente donde existen infinitas soluciones que dependen del valor que se asigne a la variable libre, en este caso \( x_4 \). Podrías elegir un valor para \( x_4 \) y luego encontrar \( x_1, \) \( x_2, \) y \( x_3 \) correspondientes a ese valor específico.
Solving a System of Linear Equations by Elimination Method
Para resolver el sistema de ecuaciones lineales dado, podemos usar el método de sustitución o el método de eliminación. Vamos a utilizar el método de eliminación. El sistema de ecuaciones es: 1) 6x + 2y = 4 2) 2x + y = 2 Primero, simplificamos las ecuaciones si es posible. En este caso, la primera ecuación se puede simplificar dividiendo ambos lados entre 2 para obtener: 3) 3x + y = 2 Ahora tenemos las ecuaciones: 3) 3x + y = 2 2) 2x + y = 2 Ahora queremos eliminar una de las variables. En este caso, parece más fácil eliminar la variable y. Podemos hacerlo multiplicando la ecuación 2) por -1 y sumándola a la ecuación 3): 3) 3x + y = 2 4) - (2x + y = 2) Al sumar 3) y 4), obtenemos: 3x + y - 2x - y = 2 - 2 x = 0 Ahora que tenemos el valor de x, podemos sustituir este valor en cualquiera de las ecuaciones originales (vamos a usar la ecuación 2)) para resolver para y: 2x + y = 2 2(0) + y = 2 y = 2 Por lo tanto, la solución al sistema de ecuaciones es x = 0 e y = 2.
Solving a System of Linear Equations using Elimination Method
Para resolver este sistema de ecuaciones lineales, podemos usar el método de eliminación o sustitución. Vamos a utilizar el método de eliminación para encontrar la solución: Las ecuaciones son: 1) 6x + 2y = 4 2) 2x + y = 2 Primero, vamos a intentar eliminar una de las variables. Podemos notar que si multiplicamos la segunda ecuación por 2, las 'y' se alinearán, y podremos eliminar esa variable. Vamos a hacer eso: 2*(2x + y) = 2*2 4x + 2y = 4 Ahora tenemos un nuevo sistema de ecuaciones: 1) 6x + 2y = 4 3) 4x + 2y = 4 Ahora, si restamos la ecuación (3) de la ecuación (1), eliminamos la 'y': (6x + 2y) - (4x + 2y) = 4 - 4 6x - 4x = 0 Entonces, obtenemos: 2x = 0 x = 0 Ahora que conocemos el valor de 'x', podemos sustituirlo en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar 'y'. Usamos la ecuación (2) para este propósito: 2x + y = 2 2(0) + y = 2 y = 2 Por lo tanto, la solución al sistema de ecuaciones es: x = 0 y = 2
Solving a System of Equations by Elimination Method
Claro, vamos a resolver el sistema de ecuaciones dado en la imagen utilizando el método de sustitución o eliminación. En este caso, utilizaremos el método de eliminación. Las ecuaciones son las siguientes: 6x + 2y = 4 2x + y = 2 Primero, vamos a multiplicar la segunda ecuación por -2 para que podamos eliminar la variable y sumando ambas ecuaciones. Multiplicamos: -2(2x + y) = -2(2) -4x - 2y = -4 Ahora sumamos las ecuaciones: 6x + 2y = 4 -4x - 2y = -4 ----------------- 2x = 0 De esto resulta que: 2x = 0 x = 0 / 2 x = 0 Ahora sustituimos x = 0 en una de las ecuaciones originales para resolver y, por ejemplo, en la segunda ecuación: 2x + y = 2 2(0) + y = 2 y = 2 Entonces, la solución al sistema de ecuaciones es x = 0 e y = 2.
Solving a System of Linear Equations using Elimination and Substitution
Claro, resolveremos el sistema de ecuaciones lineales dado por los métodos de eliminación o sustitución. Tenemos tres ecuaciones: 1. \(x + y = 0\) 2. \(x + 7y - 3z = -3\) 3. \(2x + 3y - 4z = -3\) Primero, resolveremos la primera ecuación para una de las variables y sustituiremos ese valor en las otras dos ecuaciones. De la primera ecuación tenemos que: \(y = -x\) Ahora sustituiremos \(y\) por \(-x\) en las otras dos ecuaciones: En la segunda ecuación: \(x + 7(-x) - 3z = -3\) \(x - 7x - 3z = -3\) \(-6x - 3z = -3\) ... (4) En la tercera ecuación: \(2x + 3(-x) - 4z = -3\) \(2x - 3x - 4z = -3\) \(-x - 4z = -3\) ... (5) Ahora, podemos resolver el sistema de dos ecuaciones (4) y (5) con dos incógnitas (\(x\) y \(z\)). Primero, multiplicaremos la ecuación (5) por 6 para poder eliminar \(x\) sumando las ecuaciones: \(-6x - 24z = -18\) ... (6) Sumamos la ecuación (4) y la ecuación (6): \(-6x - 3z - 6x - 24z = -3 - 18\) \(-12x - 27z = -21\) Dividamos toda la ecuación por -3 para simplificar: \(4x + 9z = 7\) ... (7) Ahora, necesitamos resolver para una de las variables. Resolvamos para \(z\) partiendo de la ecuación (7): \(9z = 7 - 4x\) \(z = \frac{7}{9} - \frac{4}{9}x\) Sustituimos \(z\) de nuevo en la ecuación (5): \(-x - 4(\frac{7}{9} - \frac{4}{9}x) = -3\) \(-x - \frac{28}{9} + \frac{16}{9}x = -3\) \(\frac{15}{9}x - \frac{28}{9} = -3\) Multiplicamos por 9 para eliminar los denominadores: \(15x - 28 = -27\) Ahora sumamos 28 a ambos lados: \(15x = 1\) Dividimos entre 15: \(x = \frac{1}{15}\) Ahora sustituimos \(x\) de nuevo en la ecuación para \(y\) y \(z\): \(y = -\frac{1}{15}\) \(z = \frac{7}{9} - \frac{4}{9}(\frac{1}{15})\) \(z = \frac{7}{9} - \frac{4}{135}\) \(z = \frac{105}{135} - \frac{4}{135}\) \(z = \frac{101}{135}\) \(z = \frac{101}{135}\) Finalmente, simplificamos \(z\) si es posible: \(z = \frac{101}{135}\) (No se simplifica más porque 101 es un número primo y no divide a 135) Así que las soluciones al sistema dado son: \(x = \frac{1}{15}\) \(y = -\frac{1}{15}\) \(z = \frac{101}{135}\) Es importante recordar que siempre debemos de verificar estas soluciones sustituyéndolas en las ecuaciones originales para asegurarnos de que realmente son correctas.
Solving a System of Linear Equations using Elimination Method
El conjunto de ecuaciones proporcionado es un sistema de ecuaciones lineales. Para resolverlo, utilizaremos el método de eliminación para reducir el sistema a ecuaciones con menos variables y luego resolver esas ecuaciones. Comenzamos con el sistema original: \[ \begin{cases} x + y = 0 \\ x + 2y - 3z = -3 \\ 2x + 3y - 4z = -3 \end{cases} \] Primero, vamos a restar la primera ecuación de la segunda y la tercera para eliminar la variable \(x\): Restando la primera ecuación de la segunda: \[ (x + 2y - 3z) - (x + y) = -3 - 0 \] \[ 2y - y - 3z = -3 \] \[ y - 3z = -3 \] ... (ecuación 2') Restando el doble de la primera ecuación de la tercera: \[ (2x + 3y - 4z) - 2(x + y) = -3 - 2(0) \] \[ 2x + 3y - 4z - 2x - 2y = -3 \] \[ y - 4z = -3 \] ... (ecuación 3') Ahora tenemos un sistema simplificado con las siguientes dos ecuaciones: \[ \begin{cases} y - 3z = -3 \quad \text{(ecuación 2')} \\ y - 4z = -3 \quad \text{(ecuación 3')} \end{cases} \] Restamos la ecuación 2' de la ecuación 3': \[ (y - 4z) - (y - 3z) = -3 - (-3) \] \[ -4z + 3z = 0 \] \[ -z = 0 \] \[ z = 0 \] Una vez que tenemos \(z = 0\), podemos sustituir este valor en la ecuación 2' o 3' para encontrar el valor de \(y\): \[ y - 3(0) = -3 \] \[ y = -3 \] Ahora que conocemos los valores de \(y\) y \(z\), podemos sustituir estos valores en la primera ecuación original para encontrar \(x\): \[ x + (-3) = 0 \] \[ x = 3 \] Por ende, la solución al sistema de ecuaciones es: \[ x = 3, y = -3, z = 0 \]
Solving a System of Linear Equations Using Elimination Method
Claro, vamos a resolver el sistema de ecuaciones lineales que se muestra en la imagen. Tenemos el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: 1) \( x - 2y - 3z = 4 \) 2) \( 2x + 3y - z = 5 \) 3) \( 4x - 3y - z = 9 \) Para resolverlo, podemos usar el método de eliminación o el método de sustitución. Utilizaré el método de eliminación para resolver este sistema paso a paso. Paso 1: Eliminar una variable Podemos sumar la segunda ecuación y la tercera ecuación para eliminar la variable \( y \), lo cual nos dará una nueva ecuación con las incógnitas \( x \) y \( z \): \( 2x + 3y - z + 4x - 3y - z = 5 + 9 \) \( 6x - 2z = 14 \) Simplificando, esto nos da: \( 3x - z = 7 \) ... (4) Ahora, multipliquemos la primera ecuación por 2 para poder sumarla a la segunda ecuación y eliminar la variable \( y \): \( 2x - 4y - 6z = 8 \) ... (1) * 2 \( 2x + 3y - z = 5 \) ... (2) Sumamos ambas ecuaciones: \( 2x - 4y - 6z + 2x + 3y - z = 8 + 5 \) \( 4x - y - 7z = 13 \) ... (5) Ahora tenemos dos ecuaciones con las incógnitas \( x \) y \( z \) [(4) y (5)]. Podemos resolver este sistema para \( x \) y \( z \) eliminando una de estas variables. Paso 2: Eliminar otra variable Vamos a eliminar la variable \( z \) multiplicando la ecuación (4) por 7 y sumándola a la ecuación (5): \( 3x - z = 7 \) ... (4) * 7 \( 21x - 7z = 49 \) \( 4x - y - 7z = 13 \) ... (5) Sumamos las dos ecuaciones: \( 21x - 7z + 4x - y - 7z = 49 + 13 \) \( 25x - y = 62 \) ... (6) Ahora, tenemos una ecuación con \( x \) y \( y \), y podemos usar cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar la relación entre \( x \) y \( z \) y así obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Paso 3: Resolver para una variable A partir de la ecuación (6), podemos aislar una de las variables. Por ejemplo, aislemos \( x \): \( x = \frac{62 + y}{25} \) ... (7) Ahora, podemos sustituir la expresión de \( x \) en la ecuación (4) para encontrar \( z \): \( 3(\frac{62 + y}{25}) - z = 7 \) \( \frac{186 + 3y}{25} - z = 7 \) Multiplicamos ambos lados por 25 para deshacernos de la fracción: \( 186 + 3y - 25z = 175 \) \( 3y - 25z = -11 \) ... (8) Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas [(6) y (8)]. Podemos resolver este sistema para encontrar los valores de \( y \) y \( z \), y luego usar a \( x \) para obtener el valor de la tercera variable. Sin embargo, hay un error en mi procesamiento, porque he olvidado considerar la variable \( y \) en la ecuación (6) cuando he aislado \( x \). Tendría que haber obtenido una ecuación que involucre tanto a \( x \) como a \( y \), y luego utilizar otra ecuación para resolver el sistema para estas dos variables. Vamos a resolver el error. Sustituiremos la ecuación (7) en alguna de las ecuaciones originales que contenga todas las variables para encontrar \( y \) y \( z \). Por ejemplo, usaré la ecuación (1): \( \frac{62 + y}{25} - 2y - 3z = 4 \) Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 25 para eliminar la fracción: \( 62 + y - 50y - 75z = 100 \) \(-49y - 75z = 38\) ... (9) Ahora, necesitamos otra ecuación en términos de \( y \) y \( z \) para resolver el sistema. Podemos usar la ecuación (2) o (3) junto con la (9) para encontrar los valores de \( y \) y \( z \). Usaré la ecuación (2) y resolveré para \( y \) en términos de \( z \): \( 2(\frac{62 + y}{25}) + 3y - z = 5 \) \( 124 + 2y + 75y - 25z = 125 \) \( 77y - 25z = 1 \) ... (10) Ahora tenemos dos ecuaciones nuevas, (9) y (10), con las variables \( y \) y \( z \) que podemos resolver simultáneamente: (9) \( -49y - 75z = 38 \) (10) \( 77y - 25z = 1 \) Multiplicamos (10) por \( 3 \) para poder sumarla a (9) y así eliminar \( y \): \( 3 \cdot 77y = 231y \) \( 3 \cdot -25z = -75z \) \( 3 \cdot 1 = 3 \) Entonces, la ecuación (10) se convierte en: \( 231y - 75z = 3 \) ... (11) Sumamos (9) y (11) para eliminar \( y \): \( -49y - 75z + 231y - 75z = 38 + 3 \) \( 182y = 41 \) \( y = \frac{41}{182} \) \( y = \frac{41}{182} \) Simplificando: \( y = \frac{41}{182} \) \( y = \frac{41}{2 \times 91} \) \( y = \frac{41}{2 \times 7 \times 13} \) \( y = \frac{41}{182} \) Por lo tanto: \( y = \frac{41}{182} \) \( y = \frac{1}{2 \times 7} \) \( y = \frac{1}{14} \) Ahora que hemos encontrado \( y \), podemos sustituir este valor de vuelta en la ecuación (9) o (10) para encontrar \( z \). Usando la ecuación (10): \( 77(\frac{1}{14}) - 25z = 1 \) \( \frac{77}{14} - 25z = 1 \) Multiplicamos ambos lados por 14 para eliminar la fracción: \( 77 - 25 \cdot 14z = 14 \) \( -25 \cdot 14z = 14 - 77 \) \( -350z = -63 \) \( z = \frac{-63}{-350} \) Simplificando: \( z = \frac{63}{350} \) \( z = \frac{9}{50} \) Finalmente, sustituiremos \( y \) y \( z \) en la ecuación (4) para encontrar \( x \): \( 3x - \frac{9}{50} = 7 \) Multiplicamos ambos lados por 50: \( 150x - 9 = 350 \) \( 150x = 350 + 9 \) \( 150x = 359 \) \( x = \frac{359}{150} \) Simplificando: \( x = \frac{359}{150} \) \( x = \frac{359}{2 \times 75} \) \( x = \frac{359}{2 \times 3 \times 25} \) \( x = \frac{359}{150} \) \( x = \frac{239}{50} \) Por lo tanto, las soluciones para \( x \), \( y \), y \( z \) son: \( x = \frac{239}{50} \) \( y = \frac{1}{14
Solving a System of Three Equations with Three Unknowns
Claro, tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que vamos a resolver paso a paso. El sistema es: 1. \( x - 2y - 2z = 4 \) 2. \( 2x + 3y - z = 5 \) 3. \( 4x + y - z = 9 \) Podemos usar el método de eliminación o el método de sustitución. Para este ejemplo, usaré el método de eliminación. Empecemos por eliminar una de las incógnitas, por ejemplo, la \(z\). Multiplicamos la primera ecuación por -1 para poder eliminar la variable \(z\) sumándola con la segunda y la tercera ecuación. La primera ecuación se convierte en: \( -x + 2y + 2z = -4 \) Ahora la sumamos con la segunda ecuación: \( -x + 2y + 2z + 2x + 3y - z = -4 + 5 \) \( x + 5y + z = 1 \) ... (4) Y también la sumamos con la tercera ecuación: \( -x + 2y + 2z + 4x + y - z = -4 + 9 \) \( 3x + 3y + z = 5 \) ... (5) Ahora tenemos un nuevo sistema con dos ecuaciones (4 y 5) y dos incógnitas (x y y). Vamos a eliminar \(z\) sumando las ecuaciones 4 y 5 con la segunda ecuación original por separado: \( x + 5y + z + 4x + y - z = 1 + 9 \) \( 5x + 6y = 10 \) ... (6) Dividimos la ecuación (6) entre 5: \( x + \frac{6}{5}y = 2 \) ... (7) Ahora utilizamos las ecuaciones (4) y (5) para eliminar \(z\): \( x + 5y + z + 3x + 3y + z = 1 + 5 \) \( 4x + 8y + 2z = 6 \) ... (8) Dividimos la ecuación (8) entre 2: \( 2x + 4y + z = 3 \) ... (9) Ahora tenemos dos ecuaciones (7 y 9) con dos incógnitas (x y y): \( x + \frac{6}{5}y = 2 \) ... (7) \( 2x + 4y + z = 3 \) ... (9) Podemos resolver el sistema (7) y (9) para encontrar \(x\) y \(y\). Multiplicamos la ecuación (7) por 2 para igualar el coeficiente de \(x\): \( 2x + \frac{12}{5}y = 4 \) ... (10) Restamos la ecuación (10) de la ecuación (9): \( (2x + 4y + z) - (2x + \frac{12}{5}y) = 3 - 4 \) Como resultado, tenemos una nueva ecuación con solo la variable \(y\): \( 4y - \frac{12}{5}y + z = -1 \) Para simplificar los términos de \(y\), encontramos un denominador común que es 5: \( \frac{20}{5}y - \frac{12}{5}y + z = -1 \) \( \frac{8}{5}y + z = -1 \) ... (11) Ahora expresamos \(z\) en función de \(y\) de la ecuación (11): \( z = -1 - \frac{8}{5}y \) ... (12) Volvemos a la ecuación (7) para despejar \(x\), sabiendo que \(y\) aún no está determinado: \( x = 2 - \frac{6}{5}y \) ... (13) Ahora tenemos \(x\) y \(z\) expresados en función de \(y\) (ecuaciones 12 y 13). Para encontrar el valor de \(y\), podemos sustituir el valor de \(z\) (de la ecuación 12) en cualquiera de las ecuaciones originales que contenían todas las variables. Usemos la ecuación (2) para esto: \( 2x + 3y - z = 5 \) Sustituimos \(x\) (de la ecuación 13) y \(z\) (de la ecuación 12): \( 2(2 - \frac{6}{5}y) + 3y - (-1 - \frac{8}{5}y) = 5 \) Simplificamos: \( 4 - \frac{12}{5}y + 3y + 1 + \frac{8}{5}y = 5 \) Combinamos términos semejantes: \( 5 - \frac{12}{5}y + \frac{15}{5}y + \frac{8}{5}y = 5 \) \( 5 + \frac{11}{5}y = 5 \) Ahora restamos 5 de ambos lados de la ecuación: \( \frac{11}{5}y = 0 \) Dado que todo número multiplicado por 0 da 0, obtenemos que \(y = 0\). Ahora que sabemos el valor de \(y\), podemos sustituirlo en las ecuaciones (12) y (13) para encontrar \(z\) y \(x\), respectivamente. De la ecuación (13): \( x = 2 - \frac{6}{5}(0) \) \( x = 2 \) De la ecuación (12): \( z = -1 - \frac{8}{5}(0) \) \( z = -1 \) El conjunto de soluciones al sistema de ecuaciones es \(x = 2\), \(y = 0\), \(z = -1\).
Solving a System of Linear Equations using Elimination Method
Baik, dari gambar yang diberikan, tampaknya kita memiliki sistem persamaan linear dengan dua variabel, yaitu: 1) y = 3 + 2x 2) y = 2 - 0.5x Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini, kita bisa menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Karena kedua persamaan sudah terpecahkan untuk y, metode eliminasi tampaknya paling mudah. Langkah pertama adalah menyamakan nilai y dalam kedua persamaan: 3 + 2x = 2 - 0.5x Selanjutnya, kita akan menyelesaikan persamaan ini untuk x: 2x + 0.5x = 2 - 3 2.5x = -1 x = -1 / 2.5 x = -0.4 Setelah kita mendapatkan nilai x, kita bisa mengganti x ke salah satu persamaan asli untuk mendapatkan nilai y. Mari kita gunakan persamaan pertama: y = 3 + 2(-0.4) y = 3 - 0.8 y = 2.2 Jadi, solusi untuk sistem persamaan tersebut adalah x = -0.4 dan y = 2.2.
Solving a System of Equations using Substitution or Elimination
Pour résoudre le système d'équations donné dans l'image, nous allons utiliser la méthode de substitution ou la méthode d'élimination. Le système est comme suit : \[ \begin{cases} 3x - 5y = e^y \\ 1 + xy = e^y \end{cases} \] D'abord, nous pouvons exprimer \( e^y \) de la première équation et le substituer dans la deuxième : \( 3x - 5y = e^y \) (équation 1) Nous isolons \( e^y \) : \( e^y = 3x - 5y \) Maintenant, nous substituons \( e^y \) dans la deuxième équation : \( 1 + xy = e^y \) (équation 2) Substitution : \( 1 + xy = 3x - 5y \) À ce stade, il s'agit de trouver des valeurs de x et y qui satisfont cette dernière équation. Cette équation est non-linéaire et peut être compliquée à résoudre exactement. En général, il faudrait probablement recourir à des méthodes numériques pour trouver une solution approximative. Cependant, si nous cherchons des solutions entières ou des valeurs particulières de x et y qui peuvent simplifier l'équation, nous pourrions manipuler l'équation davantage ou essayer des substituions spécifiques. Mais sans information supplémentaire ou une direction spécifique, trouver une forme exacte des solutions est difficile. Si l'équation est donnée dans le cadre d'un problème avec des contraintes supplémentaires, ou si elle est extraite d'un contexte spécifique qui impose certaines valeurs pour x ou y, la solution peut être facilitée. Autrement, une solution générale nécessite des méthodes approfondies comme l'itération ou l'utilisation de logiciels mathématiques adaptés.
Solving System of Linear Equations by Elimination
To solve the system of linear equations using elimination, we can add the two equations together because the y terms are opposites and will cancel each other out. Here are the equations: 1) \( 4x + 2y = 14 \) 2) \( -5x - 2y = -16 \) Adding them together gives us: \( (4x + 2y) + (-5x - 2y) = 14 + (-16) \) This simplifies to: \( 4x - 5x + 2y - 2y = 14 - 16 \) \( -x = -2 \) Now we can solve for x by dividing both sides by -1: \( x = \frac{-2}{-1} \) \( x = 2 \) With x found, we can substitute x = 2 into either of the original equations to solve for y. Using the first equation: \( 4x + 2y = 14 \) Substituting 2 for x gives us: \( 4(2) + 2y = 14 \) \( 8 + 2y = 14 \) Subtract 8 from both sides to get: \( 2y = 6 \) Divide by 2 to solve for y: \( y = \frac{6}{2} \) \( y = 3 \) So the solution to the system of equations is x = 2, y = 3.
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