Question - Solving a System of Linear Equations with 4 Variables
Solution:
Claro, vamos a resolver el sistema de ecuaciones lineales dado en la imagen. Tenemos un sistema con 4 ecuaciones y 4 incógnitas, que se ve así:1) $$ x_1 + 4x_2 - 2x_3 + 8x_4 = 12 $$2) $$ x_2 - 7x_3 + 2x_4 = -4 $$3) $$ 5x_3 - x_4 = 7 $$4) $$ x_1 + 3x_2 + x_3 + 5x_4 = 6 $$Para resolver este sistema podemos usar el método de eliminación o sustitución, pero parece que el sistema de ecuaciones ya está parcialmente en forma escalonada, así que vamos a intentar resolverlo mediante sustitución o eliminación progresiva.Empezamos por la tercera ecuación, ya que tiene solo dos incógnitas:$$ 5x_3 - x_4 = 7 $$Podemos despejar $$ x_3 $$ en términos de $$ x_4 $$:$$ 5x_3 = 7 + x_4 $$$$ x_3 = \frac{7 + x_4}{5} $$Ahora sustituimos $$ x_3 $$ en la segunda ecuación:$$ x_2 - 7(\frac{7 + x_4}{5}) + 2x_4 = -4 $$Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 5 para eliminar el denominador:$$ 5x_2 - 49 - 7x_4 + 10x_4 = -20 $$$$ 5x_2 + 3x_4 = -20 + 49 $$$$ 5x_2 + 3x_4 = 29 $$Despejamos $$ x_2 $$ en términos de $$ x_4 $$:$$ 5x_2 = 29 - 3x_4 $$$$ x_2 = \frac{29 - 3x_4}{5} $$Ahora sustituimos $$ x_2 $$ y $$ x_3 $$ en la primera ecuación:$$ x_1 + 4(\frac{29 - 3x_4}{5}) - 2(\frac{7 + x_4}{5}) + 8x_4 = 12 $$Simplificamos y resolvemos para $$ x_1 $$:$$ x_1 + \frac{116 - 12x_4}{5} - \frac{14 + 2x_4}{5} + 8x_4 = 12 $$$$ x_1 + \frac{116 - 12x_4 - 14 - 2x_4}{5} + 8x_4 = 12 $$$$ x_1 + \frac{102 - 14x_4}{5} + 8x_4 = 12 $$Multiplica ambos lados por 5 para deshacerte del denominador:$$ 5x_1 + 102 - 14x_4 + 40x_4 = 60 $$$$ 5x_1 + 26x_4 = -42 $$Despejamos $$ x_1 $$ en términos de $$ x_4 $$:$$ 5x_1 = -42 - 26x_4 $$$$ x_1 = \frac{-42 - 26x_4}{5} $$Finalmente, tenemos $$ x_1, x_2, $$ y $$ x_3 $$ en términos de $$ x_4.$$ Podemos utilizar la cuarta ecuación para encontrar una relación entre $$ x_4 $$ y las demás variables, pero a partir de aquí, hemos reducido el problema de cuatro variables a una variable. Sin un valor específico para $$ x_4 $$, no podemos encontrar una única solución al sistema; necesitaríamos más información o restricciones adicionales. Este es un sistema indeterminado o dependiente donde existen infinitas soluciones que dependen del valor que se asigne a la variable libre, en este caso $$ x_4 $$. Podrías elegir un valor para $$ x_4 $$ y luego encontrar $$ x_1, $$ $$ x_2, $$ y $$ x_3 $$ correspondientes a ese valor específico.
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