Question - Solving System of Linear Equations by Elimination and Substitution
Solution:
Vamos a resolver el sistema de ecuaciones lineales dado por eliminación o sustitución. El sistema está dado por:$$ x_1 + 4x_2 - 2x_3 + 8x_4 = 12 $$$$ x_2 - 7x_3 + 2x_4 = -4 $$$$ 5x_3 - x_4 = 7 $$$$ x_3 + 3x_4 = -5 $$Primero, podemos resolver las últimas dos ecuaciones para encontrar $$x_3$$ y $$x_4$$ dado que son más simples y solo contienen dos incógnitas.Empecemos con la tercera y la cuarta ecuación:$$ 5x_3 - x_4 = 7 $$$$ x_3 + 3x_4 = -5 $$Multiplicamos la cuarta ecuación por 5 y la sumamos con la tercera para eliminar $$x_3$$:$$ 5(x_3 + 3x_4) = 5(-5) $$$$ 5x_3 + 15x_4 = -25 $$Ahora sumamos esto a la tercera ecuación:$$ 5x_3 + 15x_4 + 5x_3 - x_4 = 7 - 25 $$$$ 10x_3 + 14x_4 = -18 $$Dividimos todo entre 2 para simplificar:$$ 5x_3 + 7x_4 = -9 $$Ahora tenemos un sistema simplificado con las ecuaciones:$$ 5x_3 - x_4 = 7 $$$$ 5x_3 + 7x_4 = -9 $$Restamos la primera ecuación de la segunda para eliminar $$x_3$$:$$ (5x_3 + 7x_4) - (5x_3 - x_4) = -9 - 7 $$$$ 8x_4 = -16 $$Dividimos ambos lados entre 8:$$ x_4 = -2 $$Ahora, podemos sustituir $$x_4$$ en la ecuación $$ 5x_3 - x_4 = 7 $$ para encontrar $$x_3$$:$$ 5x_3 - (-2) = 7 $$$$ 5x_3 + 2 = 7 $$$$ 5x_3 = 5 $$Dividimos ambos lados entre 5:$$ x_3 = 1 $$Con $$x_3 = 1$$ y $$x_4 = -2$$, podemos ahora sustituir estos valores en las primeras dos ecuaciones del sistema original para obtener $$x_1$$ y $$x_2$$.Tomemos la primera ecuación:$$ x_1 + 4x_2 - 2(1) + 8(-2) = 12 $$$$ x_1 + 4x_2 - 2 - 16 = 12 $$$$ x_1 + 4x_2 = 30 $$La segunda ecuación:$$ x_2 - 7(1) + 2(-2) = -4 $$$$ x_2 - 7 - 4 = -4 $$$$ x_2 = -4 + 11 $$$$ x_2 = 7 $$Finalmente, sustituimos $$x_2 = 7$$ en la ecuación para encontrar $$x_1$$:$$ x_1 + 4(7) = 30 $$$$ x_1 + 28 = 30 $$$$ x_1 = 30 - 28 $$$$ x_1 = 2 $$Por lo tanto, la solución del sistema es:$$ x_1 = 2 $$$$ x_2 = 7 $$$$ x_3 = 1 $$$$ x_4 = -2 $$
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