Question - Solving a System of Linear Equations Using Elimination Method
Solution:
Claro, vamos a resolver el sistema de ecuaciones lineales que se muestra en la imagen. Tenemos el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:1) $$ x - 2y - 3z = 4 $$2) $$ 2x + 3y - z = 5 $$3) $$ 4x - 3y - z = 9 $$Para resolverlo, podemos usar el método de eliminación o el método de sustitución. Utilizaré el método de eliminación para resolver este sistema paso a paso.Paso 1: Eliminar una variablePodemos sumar la segunda ecuación y la tercera ecuación para eliminar la variable $$ y $$, lo cual nos dará una nueva ecuación con las incógnitas $$ x $$ y $$ z $$:$$ 2x + 3y - z + 4x - 3y - z = 5 + 9 $$$$ 6x - 2z = 14 $$Simplificando, esto nos da:$$ 3x - z = 7 $$ ... (4)Ahora, multipliquemos la primera ecuación por 2 para poder sumarla a la segunda ecuación y eliminar la variable $$ y $$:$$ 2x - 4y - 6z = 8 $$ ... (1) * 2$$ 2x + 3y - z = 5 $$ ... (2)Sumamos ambas ecuaciones:$$ 2x - 4y - 6z + 2x + 3y - z = 8 + 5 $$$$ 4x - y - 7z = 13 $$ ... (5)Ahora tenemos dos ecuaciones con las incógnitas $$ x $$ y $$ z $$ [(4) y (5)]. Podemos resolver este sistema para $$ x $$ y $$ z $$ eliminando una de estas variables.Paso 2: Eliminar otra variableVamos a eliminar la variable $$ z $$ multiplicando la ecuación (4) por 7 y sumándola a la ecuación (5):$$ 3x - z = 7 $$ ... (4) * 7$$ 21x - 7z = 49 $$$$ 4x - y - 7z = 13 $$ ... (5)Sumamos las dos ecuaciones:$$ 21x - 7z + 4x - y - 7z = 49 + 13 $$$$ 25x - y = 62 $$ ... (6)Ahora, tenemos una ecuación con $$ x $$ y $$ y $$, y podemos usar cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar la relación entre $$ x $$ y $$ z $$ y así obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.Paso 3: Resolver para una variableA partir de la ecuación (6), podemos aislar una de las variables. Por ejemplo, aislemos $$ x $$:$$ x = \frac{62 + y}{25} $$ ... (7)Ahora, podemos sustituir la expresión de $$ x $$ en la ecuación (4) para encontrar $$ z $$:$$ 3(\frac{62 + y}{25}) - z = 7 $$$$ \frac{186 + 3y}{25} - z = 7 $$Multiplicamos ambos lados por 25 para deshacernos de la fracción:$$ 186 + 3y - 25z = 175 $$$$ 3y - 25z = -11 $$ ... (8)Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas [(6) y (8)]. Podemos resolver este sistema para encontrar los valores de $$ y $$ y $$ z $$, y luego usar a $$ x $$ para obtener el valor de la tercera variable.Sin embargo, hay un error en mi procesamiento, porque he olvidado considerar la variable $$ y $$ en la ecuación (6) cuando he aislado $$ x $$. Tendría que haber obtenido una ecuación que involucre tanto a $$ x $$ como a $$ y $$, y luego utilizar otra ecuación para resolver el sistema para estas dos variables. Vamos a resolver el error.Sustituiremos la ecuación (7) en alguna de las ecuaciones originales que contenga todas las variables para encontrar $$ y $$ y $$ z $$. Por ejemplo, usaré la ecuación (1):$$ \frac{62 + y}{25} - 2y - 3z = 4 $$Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 25 para eliminar la fracción:$$ 62 + y - 50y - 75z = 100 $$$$-49y - 75z = 38$$ ... (9)Ahora, necesitamos otra ecuación en términos de $$ y $$ y $$ z $$ para resolver el sistema. Podemos usar la ecuación (2) o (3) junto con la (9) para encontrar los valores de $$ y $$ y $$ z $$. Usaré la ecuación (2) y resolveré para $$ y $$ en términos de $$ z $$:$$ 2(\frac{62 + y}{25}) + 3y - z = 5 $$$$ 124 + 2y + 75y - 25z = 125 $$$$ 77y - 25z = 1 $$ ... (10)Ahora tenemos dos ecuaciones nuevas, (9) y (10), con las variables $$ y $$ y $$ z $$ que podemos resolver simultáneamente:(9) $$ -49y - 75z = 38 $$(10) $$ 77y - 25z = 1 $$Multiplicamos (10) por $$ 3 $$ para poder sumarla a (9) y así eliminar $$ y $$:$$ 3 \cdot 77y = 231y $$$$ 3 \cdot -25z = -75z $$$$ 3 \cdot 1 = 3 $$Entonces, la ecuación (10) se convierte en:$$ 231y - 75z = 3 $$ ... (11)Sumamos (9) y (11) para eliminar $$ y $$:$$ -49y - 75z + 231y - 75z = 38 + 3 $$$$ 182y = 41 $$$$ y = \frac{41}{182} $$$$ y = \frac{41}{182} $$Simplificando:$$ y = \frac{41}{182} $$$$ y = \frac{41}{2 \times 91} $$$$ y = \frac{41}{2 \times 7 \times 13} $$$$ y = \frac{41}{182} $$Por lo tanto:$$ y = \frac{41}{182} $$$$ y = \frac{1}{2 \times 7} $$$$ y = \frac{1}{14} $$Ahora que hemos encontrado $$ y $$, podemos sustituir este valor de vuelta en la ecuación (9) o (10) para encontrar $$ z $$. Usando la ecuación (10):$$ 77(\frac{1}{14}) - 25z = 1 $$$$ \frac{77}{14} - 25z = 1 $$Multiplicamos ambos lados por 14 para eliminar la fracción:$$ 77 - 25 \cdot 14z = 14 $$$$ -25 \cdot 14z = 14 - 77 $$$$ -350z = -63 $$$$ z = \frac{-63}{-350} $$Simplificando:$$ z = \frac{63}{350} $$$$ z = \frac{9}{50} $$Finalmente, sustituiremos $$ y $$ y $$ z $$ en la ecuación (4) para encontrar $$ x $$:$$ 3x - \frac{9}{50} = 7 $$Multiplicamos ambos lados por 50:$$ 150x - 9 = 350 $$$$ 150x = 350 + 9 $$$$ 150x = 359 $$$$ x = \frac{359}{150} $$Simplificando:$$ x = \frac{359}{150} $$$$ x = \frac{359}{2 \times 75} $$$$ x = \frac{359}{2 \times 3 \times 25} $$$$ x = \frac{359}{150} $$$$ x = \frac{239}{50} $$Por lo tanto, las soluciones para $$ x $$, $$ y $$, y $$ z $$ son:$$ x = \frac{239}{50} $$$$ y = \frac{1}{14
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