Question - Solving a System of Linear Equations using Elimination and Substitution
Solution:
Claro, resolveremos el sistema de ecuaciones lineales dado por los métodos de eliminación o sustitución. Tenemos tres ecuaciones:1. $$x + y = 0$$2. $$x + 7y - 3z = -3$$3. $$2x + 3y - 4z = -3$$Primero, resolveremos la primera ecuación para una de las variables y sustituiremos ese valor en las otras dos ecuaciones. De la primera ecuación tenemos que:$$y = -x$$Ahora sustituiremos $$y$$ por $$-x$$ en las otras dos ecuaciones:En la segunda ecuación:$$x + 7(-x) - 3z = -3$$$$x - 7x - 3z = -3$$$$-6x - 3z = -3$$ ... (4)En la tercera ecuación:$$2x + 3(-x) - 4z = -3$$$$2x - 3x - 4z = -3$$$$-x - 4z = -3$$ ... (5)Ahora, podemos resolver el sistema de dos ecuaciones (4) y (5) con dos incógnitas ($$x$$ y $$z$$). Primero, multiplicaremos la ecuación (5) por 6 para poder eliminar $$x$$ sumando las ecuaciones:$$-6x - 24z = -18$$ ... (6)Sumamos la ecuación (4) y la ecuación (6):$$-6x - 3z - 6x - 24z = -3 - 18$$$$-12x - 27z = -21$$Dividamos toda la ecuación por -3 para simplificar:$$4x + 9z = 7$$ ... (7)Ahora, necesitamos resolver para una de las variables. Resolvamos para $$z$$ partiendo de la ecuación (7):$$9z = 7 - 4x$$$$z = \frac{7}{9} - \frac{4}{9}x$$Sustituimos $$z$$ de nuevo en la ecuación (5):$$-x - 4(\frac{7}{9} - \frac{4}{9}x) = -3$$$$-x - \frac{28}{9} + \frac{16}{9}x = -3$$$$\frac{15}{9}x - \frac{28}{9} = -3$$Multiplicamos por 9 para eliminar los denominadores:$$15x - 28 = -27$$Ahora sumamos 28 a ambos lados:$$15x = 1$$Dividimos entre 15:$$x = \frac{1}{15}$$Ahora sustituimos $$x$$ de nuevo en la ecuación para $$y$$ y $$z$$:$$y = -\frac{1}{15}$$$$z = \frac{7}{9} - \frac{4}{9}(\frac{1}{15})$$$$z = \frac{7}{9} - \frac{4}{135}$$$$z = \frac{105}{135} - \frac{4}{135}$$$$z = \frac{101}{135}$$$$z = \frac{101}{135}$$Finalmente, simplificamos $$z$$ si es posible:$$z = \frac{101}{135}$$ (No se simplifica más porque 101 es un número primo y no divide a 135)Así que las soluciones al sistema dado son:$$x = \frac{1}{15}$$$$y = -\frac{1}{15}$$$$z = \frac{101}{135}$$Es importante recordar que siempre debemos de verificar estas soluciones sustituyéndolas en las ecuaciones originales para asegurarnos de que realmente son correctas.
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