Question - Solving a System of Three Equations with Three Unknowns
Solution:
Claro, tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que vamos a resolver paso a paso.El sistema es:1. $$ x - 2y - 2z = 4 $$2. $$ 2x + 3y - z = 5 $$3. $$ 4x + y - z = 9 $$Podemos usar el método de eliminación o el método de sustitución. Para este ejemplo, usaré el método de eliminación. Empecemos por eliminar una de las incógnitas, por ejemplo, la $$z$$.Multiplicamos la primera ecuación por -1 para poder eliminar la variable $$z$$ sumándola con la segunda y la tercera ecuación.La primera ecuación se convierte en:$$ -x + 2y + 2z = -4 $$Ahora la sumamos con la segunda ecuación:$$ -x + 2y + 2z + 2x + 3y - z = -4 + 5 $$$$ x + 5y + z = 1 $$ ... (4)Y también la sumamos con la tercera ecuación:$$ -x + 2y + 2z + 4x + y - z = -4 + 9 $$$$ 3x + 3y + z = 5 $$ ... (5)Ahora tenemos un nuevo sistema con dos ecuaciones (4 y 5) y dos incógnitas (x y y). Vamos a eliminar $$z$$ sumando las ecuaciones 4 y 5 con la segunda ecuación original por separado:$$ x + 5y + z + 4x + y - z = 1 + 9 $$$$ 5x + 6y = 10 $$ ... (6)Dividimos la ecuación (6) entre 5:$$ x + \frac{6}{5}y = 2 $$ ... (7)Ahora utilizamos las ecuaciones (4) y (5) para eliminar $$z$$:$$ x + 5y + z + 3x + 3y + z = 1 + 5 $$$$ 4x + 8y + 2z = 6 $$ ... (8)Dividimos la ecuación (8) entre 2:$$ 2x + 4y + z = 3 $$ ... (9)Ahora tenemos dos ecuaciones (7 y 9) con dos incógnitas (x y y):$$ x + \frac{6}{5}y = 2 $$ ... (7)$$ 2x + 4y + z = 3 $$ ... (9)Podemos resolver el sistema (7) y (9) para encontrar $$x$$ y $$y$$. Multiplicamos la ecuación (7) por 2 para igualar el coeficiente de $$x$$:$$ 2x + \frac{12}{5}y = 4 $$ ... (10)Restamos la ecuación (10) de la ecuación (9):$$ (2x + 4y + z) - (2x + \frac{12}{5}y) = 3 - 4 $$Como resultado, tenemos una nueva ecuación con solo la variable $$y$$:$$ 4y - \frac{12}{5}y + z = -1 $$Para simplificar los términos de $$y$$, encontramos un denominador común que es 5:$$ \frac{20}{5}y - \frac{12}{5}y + z = -1 $$$$ \frac{8}{5}y + z = -1 $$ ... (11)Ahora expresamos $$z$$ en función de $$y$$ de la ecuación (11):$$ z = -1 - \frac{8}{5}y $$ ... (12)Volvemos a la ecuación (7) para despejar $$x$$, sabiendo que $$y$$ aún no está determinado:$$ x = 2 - \frac{6}{5}y $$ ... (13)Ahora tenemos $$x$$ y $$z$$ expresados en función de $$y$$ (ecuaciones 12 y 13). Para encontrar el valor de $$y$$, podemos sustituir el valor de $$z$$ (de la ecuación 12) en cualquiera de las ecuaciones originales que contenían todas las variables. Usemos la ecuación (2) para esto:$$ 2x + 3y - z = 5 $$Sustituimos $$x$$ (de la ecuación 13) y $$z$$ (de la ecuación 12):$$ 2(2 - \frac{6}{5}y) + 3y - (-1 - \frac{8}{5}y) = 5 $$Simplificamos:$$ 4 - \frac{12}{5}y + 3y + 1 + \frac{8}{5}y = 5 $$Combinamos términos semejantes:$$ 5 - \frac{12}{5}y + \frac{15}{5}y + \frac{8}{5}y = 5 $$$$ 5 + \frac{11}{5}y = 5 $$Ahora restamos 5 de ambos lados de la ecuación:$$ \frac{11}{5}y = 0 $$Dado que todo número multiplicado por 0 da 0, obtenemos que $$y = 0$$. Ahora que sabemos el valor de $$y$$, podemos sustituirlo en las ecuaciones (12) y (13) para encontrar $$z$$ y $$x$$, respectivamente.De la ecuación (13):$$ x = 2 - \frac{6}{5}(0) $$$$ x = 2 $$De la ecuación (12):$$ z = -1 - \frac{8}{5}(0) $$$$ z = -1 $$El conjunto de soluciones al sistema de ecuaciones es $$x = 2$$, $$y = 0$$, $$z = -1$$.
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