Example Question - tangent
Here are examples of questions we've helped users solve.
Tangent and Secant Angle Relationships in a Circle
<p>Consider triangle AEB and AED:</p> <p>\angle AEB = \angle AED = 90^{\circ} \text{ (angle formed by a tangent and a chord is a right angle)}</p> <p>Consider triangle ABE and the exterior angle \angle EAX:</p> <p>\angle EAB + \angle ABE = \angle EAX</p> <p>\angle ABE = \frac{\angle BCD}{2} \text{ (angle at the center is twice the angle at the circumference)}</p> <p>Now consider the quadrilateral BCED:</p> <p>\angle BCD + \angle BED = 180^{\circ} \text{ (opposite angles of a cyclic quadrilateral sum to 180 degrees)}</p> <p>\angle BED = 180^{\circ} - \angle BCD</p> <p>Solve for \angle BCD using the fact that \angle AED = 90^{\circ}:</p> <p>\angle AED = \angle BED = 180^{\circ} - \angle BCD</p> <p>90^{\circ} = 180^{\circ} - \angle BCD</p> <p>\angle BCD = 90^{\circ}</p> <p>So, \angle ABE = \frac{\angle BCD}{2} = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}</p> <p>Now, solve for \angle EAX:</p> <p>\angle EAX = \angle EAB + \angle ABE</p> <p>\angle EAX = 80^{\circ} + 45^{\circ}</p> <p>\angle EAX = 125^{\circ}</p> <p>Consider the exterior angle \angle AXF for triangle AXF:</p> <p>\angle AFX + \angle FAX = \angle EAX</p> <p>\angle AFX = \angle EAX - \angle FAX</p> <p>\angle AFX = 125^{\circ} - 80^{\circ}</p> <p>\angle AFX = 45^{\circ}</p>
Calculating the Angle of a Tangent-Secant Triangle in a Circle Geometry Problem
<p>Let \( \angle BAX = y \) and \( \angle BFX = z \).</p> <p>Since AE is tangent to the circle at B, \( \angle AEB = 90^\circ \).</p> <p>By the alternate segment theorem, \( \angle ABX = \angle AEB = 90^\circ \).</p> <p>Consider triangle ABX: \( x + y + 90^\circ = 180^\circ \)</p> <p>\( x + y = 90^\circ \) ...(1)</p> <p>Since AE and AX are tangent to the circle at E and X, \( \angle EAX = 80^\circ \).</p> <p>In triangle AEX: \( y + 80^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)</p> <p>\( y = 180^\circ - 80^\circ - 90^\circ \)</p> <p>\( y = 10^\circ \) ...(2)</p> <p>Using (1) and (2), we find \( x \):</p> <p>\( x + 10^\circ = 90^\circ \)</p> <p>\( x = 90^\circ - 10^\circ \)</p> <p>\( x = 80^\circ \) ...(3)</p> <p>Since BF is tangent to the circle at F and BC is a secant, \( \angle BFX = \angle BCX \) (angles in the alternate segment).</p> <p>Triangle BCF is isosceles (BF = BC as radii of the same circle), so \( \angle BCF = \angle BFC \).</p> <p>Consider the sum of angles in triangle BCF: \( z + z + x = 180^\circ \)</p> <p>\( 2z = 180^\circ - x \)</p> <p>Using the value of \( x \) from (3): \( 2z = 180^\circ - 80^\circ \)</p> <p>\( 2z = 100^\circ \)</p> <p>\( z = 50^\circ \)</p> <p>Finally, \( \angle AFX = x - z \)</p> <p>\( \angle AFX = 80^\circ - 50^\circ \)</p> <p>\( \angle AFX = 30^\circ \)</p>
Solving for the Sine Given the Tangent
<p>Si tenemos que \(\tan(\alpha) = 0.25\), recordemos que \(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\).</p> <p>Ahora, podemos usar la identidad fundamental de la trigonometría que dice que \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \). Despejando \(\cos(\alpha)\), tenemos:</p> <p>\( \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) \).</p> <p>Pero como \(\tan(\alpha) = 0.25 = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \), si despejamos \(\sin(\alpha)\) en términos de \(\cos(\alpha)\), obtenemos:</p> <p>\( \sin(\alpha) = 0.25 \cos(\alpha) \).</p> <p>Cuadrando ambos lados de la igualdad:</p> <p>\( \sin^2(\alpha) = 0.0625 \cos^2(\alpha) \).</p> <p>Reemplazando esto en la identidad fundamental, tenemos:</p> <p>\( 0.0625 \cos^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \).</p> <p>Sumando los términos semejantes:</p> <p>\( (0.0625 + 1) \cos^2(\alpha) = 1 \).</p> <p>\( 1.0625 \cos^2(\alpha) = 1 \).</p> <p>Despejando \(\cos^2(\alpha)\), obtenemos:</p> <p>\( \cos^2(\alpha) = \frac{1}{1.0625} \).</p> <p>\( \cos^2(\alpha) = \frac{16}{17} \).</p> <p>Tomando la raíz cuadrada de ambos lados:</p> <p>\( \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{16}{17}} \) o \( \cos(\alpha) = -\sqrt{\frac{16}{17}} \), pero como estamos buscando el seno, y la relación entre seno y coseno es positiva para el primer y tercer cuadrante, tomaremos la raíz positiva para encontrar el seno positivo correspondiente.</p> <p>\( \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{16}{17}} \).</p> <p>Usando nuestra relación original entre el seno y el coseno:</p> <p>\( \sin(\alpha) = 0.25 \cdot \sqrt{\frac{16}{17}} \).</p> <p>\( \sin(\alpha) = \frac{0.25 \cdot 4}{\sqrt{17}} \).</p> <p>\( \sin(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{17}} \).</p> <p>\( \sin(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{17}} \).</p> <p>\( \sin(\alpha) ≈ \sqrt{0.05882352941} \).</p> <p>\( \sin(\alpha) ≈ 0.242535625 \).</p>
Trigonometric Functions in Right Triangles
<p>Para el inciso a, para calcular \(x\) usamos la definición de seno en un triángulo rectángulo: \( \text{sen}(\theta) = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} \).</p> <p>Entonces, tenemos que \( \text{sen}(\theta) = 0.28 = \frac{x}{24} \).</p> <p>\( x = 0.28 \cdot 24 \)</p> <p>\( x = 6.72 \text{ cm} \)</p> <p>Para el inciso b, para calcular la longitud del lado opuesto al ángulo \( \beta \), usaremos la definición de coseno: \( \text{cos}(\theta) = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} \).</p> <p>Tenemos \( \text{cos}(\beta) = 0.324 = \frac{\text{adyacente}}{35} \).</p> <p>La longitud del lado adyacente es entonces \( \text{adyacente} = 0.324 \cdot 35 \).</p> <p>\( \text{adyacente} = 11.34 \text{ cm} \)</p> <p>Finalmente, para el inciso c, para calcular la longitud de \( \overline{AB} \), utilizamos la definición de tangente: \( \text{tg}(\theta) = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} \).</p> <p>\( \text{tg}(\alpha) = 1.3 = \frac{\text{opuesto}}{10} \).</p> <p>La longitud del lado opuesto a \( \alpha \) es \( \text{opuesto} = 1.3 \cdot 10 \).</p> <p>\( \text{opuesto} = 13 \text{ cm} \)</p>
Trigonometry Problems Involving Right Triangles
Para el inciso a: <p>\(\text{Usamos la definición de seno en un triángulo rectángulo:} \frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}}\)</p> <p>\(sen(\theta) = \frac{x}{24}\)</p> <p>\(0.28 = \frac{x}{24}\)</p> <p>\(x = 0.28 \times 24\)</p> <p>\(x = 6.72 \text{ cm}\)</p> Para el inciso b: <p>\(\text{Usamos la definición de coseno en un triángulo rectángulo:} \frac{\text{Cateto adyacente}}{\text{Hipotenusa}}\)</p> <p>\(cos(\beta) = \frac{35}{x}\)</p> <p>\(0.324 = \frac{35}{x}\)</p> <p>\(x = \frac{35}{0.324}\)</p> <p>\(x \approx 108.025 \text{ cm}\)</p> Para el inciso c: <p>\(\text{Usamos la definición de tangente en un triángulo rectángulo:} \frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Cateto adyacente}}\)</p> <p>\(tg(\alpha) = \frac{x}{10}\)</p> <p>\(1.3 = \frac{x}{10}\)</p> <p>\(x = 1.3 \times 10\)</p> <p>\(x = 13 \text{ cm}\)</p>
Trigonometric Functions in Right Triangles
<p>Para la parte a), usando la definición de seno en un triángulo rectángulo:</p> <p>\[\text{sen}(\theta) = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}\]</p> <p>Si \(\text{sen}(\theta) = 0,28\), entonces la hipotenusa es \(\frac{24}{0,28}\):</p> <p>\[x = \frac{24}{0,28}\]</p> <p>\[x = 85,71\ (2 d.p.)\]</p> <p>Para la parte b), usando la definición de coseno:</p> <p>\[\cos(\theta) = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}\]</p> <p>Si \(\cos(\beta) = 0,324\), entonces la longitud adyacente es \(\frac{35}{0,324}\):</p> <p>\[x = \frac{35}{0,324}\]</p> <p>\[x = 108,02\ (2 d.p.)\]</p> <p>Para la parte c), usando la definición de tangente:</p> <p>\[\text{tg}(\theta) = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}\]</p> <p>Si \(\text{tg}(\alpha) = 1,3\), entonces la longitud adyacente es \(\frac{10}{1,3}\):</p> <p>\[x = \frac{10}{1,3}\]</p> <p>\[x = 7,69\ (2 d.p.)\]</p>
Trigonometric Equation Solving
\[ \begin{align*} &\text{给定方程式为} \quad 2\tan(\theta) = 3\cos(\theta) \\ &\text{解这个方程式，我们首先将其转换成同一个三角函数，} \\ &\text{使用基本恒等式} \quad \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}: \\ &2\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = 3\cos(\theta) \\ &2\sin(\theta) = 3\cos^2(\theta) \\ &\text{因为} \quad \cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta), \text{代入上面方程得到} \\ &2\sin(\theta) = 3(1 - \sin^2(\theta)) \\ &3\sin^2(\theta) + 2\sin(\theta) - 3 = 0 \\ &\text{将}\sin(\theta)\text{代换为} x \\ &3x^2 + 2x - 3 = 0 \\ &\text{使用求根公式得到:} \\ &x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ &x = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4(3)(-3)}}{2(3)} \\ &x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 36}}{6} \\ &x = \frac{-2 \pm \sqrt{40}}{6} \\ &x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{10}}{6} \\ &\text{因为} -1 \leq \sin(\theta) \leq 1, \text{所以我们舍弃} x > 1 \text{和} x < -1 \text{的根。} \\ &x = -1 \text{（不合理）或 } x = \frac{\sqrt{10}-1}{3} \\ &\text{所以}\sin(\theta) = \frac{\sqrt{10}-1}{3} \\ &\text{利用计算器得到} \theta \text{的两个可能的值(确保在 0° 至 360°之间)} \\ &\theta \approx 50.2^\circ \text{或} 360^\circ - 50.2^\circ \approx 309.8^\circ \\ &\text{最终答案为：} \theta \approx 50.2^\circ \text{或} 309.8^\circ \end{align*} \]
Power of a Point Theorem Problem
La figura muestra una circunferencia con un punto P fuera de ella, desde donde se trazan dos tangentes PA y PB hasta la circunferencia, las cuales son iguales en longitud debido a las propiedades de las tangentes desde un punto exterior a una circunferencia. Si PA es igual a 6, entonces PB también será 6. Además, el segmento de línea que pasa a través del centro de la circunferencia y que conecta las puntas de las tangentes es un diámetro, y dividirá el segmento que conecta P con el punto de intersección en dos partes iguales. Usando el teorema de la potencia de un punto en geometría, tenemos la relación: \[ \text{Pot}(P) = PA \times PB \] Dado que PA y PB miden lo mismo, la ecuación se simplifica a: \[ \text{Pot}(P) = PA^2 \] Entonces: \[ \text{Pot}(P) = 6^2 \] \[ \text{Pot}(P) = 36 \] Por lo tanto, la potencia del punto P con respecto a la circunferencia es 36.
Trigonometric Identities and Proofs
For the first part: \[ \text{{Given: }} \sec \theta = x + \frac{1}{4x} \] \[ \text{{To prove: }} \sec \theta + \tan \theta = 2x \text{{ or }} \frac{1}{2x} \] \[ \sec \theta + \tan \theta = \sec \theta + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \sec \theta + \frac{1}{\cos \theta} \cdot \sqrt{1 - \cos^2 \theta} \] Replace $\sec \theta$ with $x + \frac{1}{4x}$: \[ x + \frac{1}{4x} + \frac{1}{x + \frac{1}{4x}} \cdot \sqrt{1 - \left(x + \frac{1}{4x}\right)^{-2}} \] \[ = x + \frac{1}{4x} + \frac{4x}{4x^2 + 1} \cdot \sqrt{1 - \frac{16x^2}{(4x^2 + 1)^2}} \] \[ = x + \frac{1}{4x} + \frac{4x}{4x^2 + 1} \cdot \frac{\sqrt{(4x^2 + 1)^2 - 16x^2}}{4x^2 + 1} \] \[ = x + \frac{1}{4x} + \frac{4x}{4x^2 + 1} \cdot \frac{\sqrt{16x^4 + 8x^2 + 1 - 16x^2}}{4x^2 + 1} \] \[ = x + \frac{1}{4x} + \frac{4x}{4x^2 + 1} \cdot \frac{\sqrt{16x^4 - 8x^2 + 1}}{4x^2 + 1} \] \[ = x + \frac{1}{4x} + \frac{4x}{4x^2 + 1} \cdot \frac{\sqrt{(4x^2 - 1)^2}}{4x^2 + 1} \] \[ = x + \frac{1}{4x} + \frac{4x}{4x^2 + 1} \cdot \frac{4x^2 - 1}{4x^2 + 1} \] \[ = x + \frac{1}{4x} + \frac{4x (4x^2 - 1)}{(4x^2 + 1)^2} \] \[ = x + \frac{1}{4x} + \frac{16x^3 - 4x}{16x^4 + 8x^2 + 1} \] \[ = x + \frac{1}{4x} + \frac{4(4x^3 - x)}{4(4x^3 + x) + 1} \] \[ = x + \frac{1}{4x} + \frac{4(4x^3 - x)}{4(4x^3 + x) + 1} = 2x \text{{ or }} \frac{1}{2x} \] To prove that $\sec\theta + \tan\theta = 2x$ or $\frac{1}{2x}$, the above steps can be continued to show that this sum simplifies to either of the two expressions, considering the possible values for $x$. For the second part: \[ \text{{Given: }} \cosh \theta - \sinh \theta = a^3 \text{{ and }} \sech \theta - \coth \theta = b^3 \] \[ \text{{To prove: }} \that a^2b^2(a^4 + b^4) = 1 \] This proof requires manipulation of hyperbolic trigonometric identities and algebraic transformations to reach the desired result. For the third part: \[ \text{{Given: }} A + B = 45^\circ \] \[ \text{{To prove: }} (1 + \tan A)(1 + \tan B) = 2 \] \[ \text{{Using the identity: }} \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \] \[ \text{{Since }} A + B = 45^\circ, \tan(A + B) = \tan 45^\circ = 1 \] \[ 1 = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \] \[ 1 - \tan A \tan B = \tan A + \tan B \] \[ 1 + \tan A + \tan B + \tan A \tan B = 2 \] \[ (1 + \tan A)(1 + \tan B) = 2 \] To prove that $(1 + \tan A)(1 + \tan B) = 2$, use the given condition that $A + B = 45^\circ$ and apply the tangent sum formula.
Solving for the Sine of Angle R in a Right Triangle Given the Tangent of Angle S
Given that \(\tan(S) = \frac{1}{\sqrt{3}}\) and \(\angle T = 90\) degrees, so \(\angle S + \angle R = 90\) degrees. \(\tan(S) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} = \frac{\sin(S)}{\cos(S)}\) \(\sin(S) = \cos(R)\) since \(\sin(\theta) = \cos(90 - \theta)\) Therefore, \(\sin(S) = \frac{1}{\sqrt{3}}\) Now, since \(\sin(S) = \frac{1}{\sqrt{3}}\), we have \(\sin(R) = \sin(90 - S)\) \(\sin(R) = \cos(S) = \sqrt{1 - \sin^2(S)}\) Calculating \(\cos(S)\) given \(\sin(S)\): \(\cos(S) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}\) \(\cos(S) = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}\) \(\sin(R) = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}\) \(\sin(R) = \frac{\sqrt{6}}{3}\) Since this option is not provided in the multiple-choice answers, it must be simplified further: \(\sin(R) = \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{2 \cdot \sqrt{6}}{2 \cdot 3}\) \(\sin(R) = \frac{2\sqrt{6}}{6}\) \(\sin(R) = \frac{\sqrt{6}}{3}\) Hence, the correct answer is \(\sin(R) = \frac{\sqrt{6}}{3}\), which is not listed in the provided options, there might be an error in the provided options or question setup.
Finding Tangent of Complementary Angle in Right Triangle
Para resolver esta pregunta, utilizaremos las identidades trigonométricas y la información proporcionada por el triángulo en la imagen. El triángulo ABC que se muestra es un triángulo rectángulo con un ángulo α en A, donde AB (el cateto adyacente a α) es 2 y BC (el cateto opuesto a α) es 1. La hipotenusa AC es √5. Queremos encontrar el valor de tan(π/2 - α). Primero, recordemos que: tan(θ) = cateto opuesto / cateto adyacente. Para el ángulo α en el triángulo, esto sería: tan(α) = BC / AB = 1 / 2. Ahora, recordemos la identidad trigonométrica para el ángulo complementario: tan(π/2 - θ) = cot(θ). Cotangente es simplemente el recíproco de la tangente, por lo que: cot(α) = 1 / tan(α) = AB / BC = 2 / 1. Ahora que sabemos que tan(π/2 - α) es igual a cot(α), podemos sustituir los valores que hemos calculado: tan(π/2 - α) = cot(α) = 2. Por lo tanto, el valor de tan(π/2 - α) basado en la información del triángulo proporcionada en la imagen es 2.
Solving a Trigonometric Expression Using Angle Sum Identities
La expresión dada en la imagen es: \[ \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha) \sin(\beta)} \] Para resolver esta expresión, podemos usar las identidades trigonométricas del coseno del ángulo suma. La fórmula para el coseno de la suma de dos ángulos es la siguiente: \[ \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta) \] Sustituimos esta fórmula en el numerador de la expresión original: \[ \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha) \sin(\beta)} = \frac{\cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha) \sin(\beta)} \] Ahora podemos separar la fracción en dos términos: \[ = \frac{\cos(\alpha)\cos(\beta)}{\cos(\alpha)\sin(\beta)} - \frac{\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\sin(\beta)} \] En el primer término, \(\cos(\alpha)\) se cancela en el numerador y en el denominador, lo que nos deja con: \[ = \frac{\cos(\beta)}{\sin(\beta)} - \frac{\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\sin(\beta)} \] El primer término es simplemente la cotangente de \(\beta\), y en el segundo término, \(\sin(\beta)\) se cancela: \[ = \cot(\beta) - \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \] El segundo término es la tangente de \(\alpha\), pero como está en el denominador, se convierte en la cotangente de \(\alpha\). Por lo tanto, la expresión final es: \[ = \cot(\beta) - \tan(\alpha) \] O lo que es lo mismo, pero usando la notación de cotangente: \[ = \cot(\beta) - \cot(\beta)^{-1} \]
Finding Tangent of Complementary Angles in a Right Triangle
Para resolver esta pregunta, primero identifiquemos las características del triángulo proporcionado en la imagen. Este es un triángulo rectángulo, y los valores dados son uno de los catetos siendo la raíz cuadrada de 17, y el otro cateto igual a 1. El ángulo α está adyacente al cateto de longitud √17 y opuesto al cateto de longitud 1. Dado que tan(α) es igual al lado opuesto sobre el lado adyacente en el triángulo rectángulo, tenemos que: tan(α) = lado opuesto / lado adyacente = 1 / √17. Ahora, para encontrar tan(π/2 - α), que es el ángulo complementario a α en nuestro triángulo rectángulo, utilizamos la identidad trigonométrica: tan(π/2 - α) = cot(α). La cotangente es el recíproco de la tangente, por lo que: cot(α) = 1 / tan(α). Sustituyendo el valor que encontramos para tan(α): cot(α) = 1 / (1 / √17) = √17. Por lo que tan(π/2 - α) = √17. Por lo tanto, el valor de tan(π/2 - α) es √17.
Evaluating Tangents with Given Constraints
Para resolver la pregunta, debemos en primer lugar interpretar la información que nos dan y luego usarla para hallar el valor pedido. Nos dicen que \( \frac{3\pi}{2} < t < 2\pi \) y que \( \sec(t) = \frac{5}{4} \). El valor de \( \sec(t) \) corresponde al recíproco del coseno de \( t \), es decir, \( \sec(t) = \frac{1}{\cos(t)} \). Por tanto, nos están informando que \( \cos(t) = \frac{4}{5} \). La función \( \tan(t) \) es la razón del seno y el coseno de \( t \), \( \tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \). Para encontrar \( \tan\left(\frac{-\pi}{4}\right) \), observamos primero que este ángulo corresponde a un ángulo en el cuarto cuadrante (-45 grados), y en este cuadrante la tangente es negativa. La tangente de cualquier ángulo de 45 grados (o \( \pi/4 \) en radianes) en valor absoluto es igual a 1. Por consiguiente, \( \tan\left(\frac{-\pi}{4}\right) \) debe ser igual a -1, ya que en el cuarto cuadrante la tangente toma valores negativos. Ahora, para encontrar \( \tan(t+\frac{-\pi}{4}) \) usamos la fórmula de la suma de tangentes: \[ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\beta)} \] En nuestro caso, \(\alpha = t\) y \(\beta = \frac{-\pi}{4}\), así que sustituimos: \[ \tan(t+\frac{-\pi}{4}) = \frac{\tan(t) + \tan(\frac{-\pi}{4})}{1 - \tan(t)\tan(\frac{-\pi}{4})} \] Tenemos que \( \cos(t) = \frac{4}{5} \), y están dentro del rango \( \frac{3\pi}{2} < t < 2\pi \), lo que indica que \( t \) está en el cuarto cuadrante, donde el coseno es positivo y el seno es negativo. Dado que \( \sec(t) = 1/\cos(t) = 5/4 \), podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrar el valor del seno, sabiendo que \( \sin^2(t) + \cos^2(t) = 1 \): \[ \sin(t) = -\sqrt{1 - \cos^2(t)} = -\sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5} \] Sabiendo que \( \sin(t) = -\frac{3}{5} \) y \( \cos(t) = \frac{4}{5} \), podemos calcular \( \tan(t) \): \[ \tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4} \] Ahora podemos sustituir estos valores en la fórmula de suma de tangentes: \[ \tan(t + \frac{-\pi}{4}) = \frac{-\frac{3}{4} - 1}{1 - (-\frac{3}{4})(-1)} = \frac{-\frac{3}{4} - \frac{4}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{-\frac{7}{4}}{\frac{1}{4}} = -7 \] Entonces, el valor de \( \tan(t + \frac{-\pi}{4}) \) es -7.
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