Question - Solving for the Sine Given the Tangent

Si tenemos que \(\tan(\alpha) = 0.25\), recordemos que \(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\).

Ahora, podemos usar la identidad fundamental de la trigonometría que dice que \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \). Despejando \(\cos(\alpha)\), tenemos:

\( \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) \).

Pero como \(\tan(\alpha) = 0.25 = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \), si despejamos \(\sin(\alpha)\) en términos de \(\cos(\alpha)\), obtenemos:

\( \sin(\alpha) = 0.25 \cos(\alpha) \).

Cuadrando ambos lados de la igualdad:

\( \sin^2(\alpha) = 0.0625 \cos^2(\alpha) \).

Reemplazando esto en la identidad fundamental, tenemos:

\( 0.0625 \cos^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \).

Sumando los términos semejantes:

\( (0.0625 + 1) \cos^2(\alpha) = 1 \).

\( 1.0625 \cos^2(\alpha) = 1 \).

Despejando \(\cos^2(\alpha)\), obtenemos:

\( \cos^2(\alpha) = \frac{1}{1.0625} \).

\( \cos^2(\alpha) = \frac{16}{17} \).

Tomando la raíz cuadrada de ambos lados:

\( \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{16}{17}} \) o \( \cos(\alpha) = -\sqrt{\frac{16}{17}} \), pero como estamos buscando el seno, y la relación entre seno y coseno es positiva para el primer y tercer cuadrante, tomaremos la raíz positiva para encontrar el seno positivo correspondiente.

\( \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{16}{17}} \).

Usando nuestra relación original entre el seno y el coseno:

\( \sin(\alpha) = 0.25 \cdot \sqrt{\frac{16}{17}} \).

\( \sin(\alpha) = \frac{0.25 \cdot 4}{\sqrt{17}} \).

\( \sin(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{17}} \).

\( \sin(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{17}} \).

\( \sin(\alpha) ≈ \sqrt{0.05882352941} \).

\( \sin(\alpha) ≈ 0.242535625 \).