Question - Solving a Trigonometric Expression Using Angle Sum Identities
Solution:
La expresión dada en la imagen es:\[ \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha) \sin(\beta)} \]Para resolver esta expresión, podemos usar las identidades trigonométricas del coseno del ángulo suma. La fórmula para el coseno de la suma de dos ángulos es la siguiente:\[ \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta) \]Sustituimos esta fórmula en el numerador de la expresión original:\[ \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha) \sin(\beta)} = \frac{\cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha) \sin(\beta)} \]Ahora podemos separar la fracción en dos términos:\[ = \frac{\cos(\alpha)\cos(\beta)}{\cos(\alpha)\sin(\beta)} - \frac{\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\sin(\beta)} \]En el primer término, $$\cos(\alpha)$$ se cancela en el numerador y en el denominador, lo que nos deja con:\[ = \frac{\cos(\beta)}{\sin(\beta)} - \frac{\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\sin(\beta)} \]El primer término es simplemente la cotangente de $$\beta$$, y en el segundo término, $$\sin(\beta)$$ se cancela:\[ = \cot(\beta) - \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \]El segundo término es la tangente de $$\alpha$$, pero como está en el denominador, se convierte en la cotangente de $$\alpha$$. Por lo tanto, la expresión final es:\[ = \cot(\beta) - \tan(\alpha) \]O lo que es lo mismo, pero usando la notación de cotangente:\[ = \cot(\beta) - \cot(\beta)^{-1} \]
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