Question - Evaluating Tangents with Given Constraints
Solution:
Para resolver la pregunta, debemos en primer lugar interpretar la información que nos dan y luego usarla para hallar el valor pedido.Nos dicen que $$ \frac{3\pi}{2} < t < 2\pi $$ y que $$ \sec(t) = \frac{5}{4} $$.El valor de $$ \sec(t) $$ corresponde al recíproco del coseno de $$ t $$, es decir, $$ \sec(t) = \frac{1}{\cos(t)} $$. Por tanto, nos están informando que $$ \cos(t) = \frac{4}{5} $$.La función $$ \tan(t) $$ es la razón del seno y el coseno de $$ t $$, $$ \tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} $$.Para encontrar $$ \tan\left(\frac{-\pi}{4}\right) $$, observamos primero que este ángulo corresponde a un ángulo en el cuarto cuadrante (-45 grados), y en este cuadrante la tangente es negativa.La tangente de cualquier ángulo de 45 grados (o $$ \pi/4 $$ en radianes) en valor absoluto es igual a 1. Por consiguiente, $$ \tan\left(\frac{-\pi}{4}\right) $$ debe ser igual a -1, ya que en el cuarto cuadrante la tangente toma valores negativos.Ahora, para encontrar $$ \tan(t+\frac{-\pi}{4}) $$ usamos la fórmula de la suma de tangentes:$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\beta)}$$En nuestro caso, $$\alpha = t$$ y $$\beta = \frac{-\pi}{4}$$, así que sustituimos:$$\tan(t+\frac{-\pi}{4}) = \frac{\tan(t) + \tan(\frac{-\pi}{4})}{1 - \tan(t)\tan(\frac{-\pi}{4})}$$Tenemos que $$ \cos(t) = \frac{4}{5} $$, y están dentro del rango $$ \frac{3\pi}{2} < t < 2\pi $$, lo que indica que $$ t $$ está en el cuarto cuadrante, donde el coseno es positivo y el seno es negativo. Dado que $$ \sec(t) = 1/\cos(t) = 5/4 $$, podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrar el valor del seno, sabiendo que $$ \sin^2(t) + \cos^2(t) = 1 $$:$$\sin(t) = -\sqrt{1 - \cos^2(t)} = -\sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$$Sabiendo que $$ \sin(t) = -\frac{3}{5} $$ y $$ \cos(t) = \frac{4}{5} $$, podemos calcular $$ \tan(t) $$:$$\tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$$Ahora podemos sustituir estos valores en la fórmula de suma de tangentes:$$\tan(t + \frac{-\pi}{4}) = \frac{-\frac{3}{4} - 1}{1 - (-\frac{3}{4})(-1)} = \frac{-\frac{3}{4} - \frac{4}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{-\frac{7}{4}}{\frac{1}{4}} = -7$$Entonces, el valor de $$ \tan(t + \frac{-\pi}{4}) $$ es -7.
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