Example Question - least common multiple
Here are examples of questions we've helped users solve.
Calculating the Least Common Multiple of 799 and 250
这个问题是请求计算两个数字799和250的最小公倍数。 最小公倍数（Least Common Multiple，缩写为LCM）是能同时被几个给定整数整除的最小的正整数。计算两个数的最小公倍数有多种方法。在这里，我们可以使用质因数分解方法，首先找出两个数的质因数分解，然后取每个质因数的最高幂次的乘积来得到最小公倍数。 要找到799和250的最小公倍数，我们首先找到这两个数的质因数分解。 799质因数分解为： \[ 799 = 17 \times 47 \] 250质因数分解为： \[ 250 = 2 \times 5^3 \] 然后，我们取所有质因数的最高幂次的乘积： \[ 2^1 \times 5^3 \times 17^1 \times 47^1 \] 所以： \[ \text{LCM}(799, 250) = 2 \times 125 \times 17 \times 47 \] \[ \text{LCM}(799, 250) = 2 \times 125 \times 799 \] \[ \text{LCM}(799, 250) = 250 \times 799 \] \[ \text{LCM}(799, 250) = 199750 \] 因此799和250的最小公倍数是199750。
Finding the Least Common Multiple (LCM)
Para resolver este problema, necesitamos encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) de los dos números dados, que son 48 y 130. El MCM de dos números es el menor número que es múltiplo de ambos. Empezamos descomponiendo cada número en sus factores primos: 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = \(2^4 \cdot 3\) 130 = 2 × 5 × 13 Ahora tomamos los factores primos más altos de cada número para encontrar el MCM: 2 (tomamos el 4 de 48, porque es el exponente más alto de 2 entre los dos números), 3 (está solo en 48), 5 (está sólo en 130), 13 (está sólo en 130). Multiplicamos estos factores primos: MCM = \( 2^4 \times 3 \times 5 \times 13\) MCM = 16 × 3 × 5 × 13 MCM = 48 × 65 MCM = 3120 Por lo tanto, Camila y Mateo se encontrarán de nuevo en 3120 días.
Determining the Greatest Common Divisor (GCD) and the Least Common Multiple (LCM) of Three Numbers
Die Aufgabe besteht aus zwei Teilen, in denen der größte gemeinsame Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von drei Zahlen, 30, 42 und 105, bestimmt werden sollen. a) Für den ersten Teil der Aufgabe soll ein Venn-Diagramm gezeichnet werden, um den ggT zu ermitteln. Ich kann Ihnen leider kein Venn-Diagramm zeichnen, aber ich kann Ihnen erklären, wie man es macht. Die gegebenen Teilersets sind: T_{30} = \{1, 3, 5, 6, 10, 15, 30\} T_{42} = \{1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42\} T_{105} = \{1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105\} In einem Venn-Diagramm würden wir drei sich überschneidende Kreise zeichnen, einen für jede der drei Zahlen. In die Überschneidungen schreiben wir die gemeinsamen Teiler der entsprechenden Zahlen ein. Zum Beispiel würde die Zahl 3, die ein Teiler von allen drei Zahlen ist, im Zentrum, wo sich alle drei Kreise überschneiden, stehen. Auf diese Weise können wir visuell den ggT identifizieren, der der größte Teiler ist, der in allen drei Kreisen zu finden ist. In diesem Fall ist der ggT 3. b) Dann sollen wir das kgV mittels koordinierter Primfaktorzerlegung bestimmen. Zuerst zerlegen wir jede Zahl in ihre Primfaktoren: 30 = 2 \times 3 \times 5 42 = 2 \times 3 \times 7 105 = 3 \times 5 \times 7 Das kgV wird gefunden, indem man jeden Primfaktor in der höchsten Potenz nimmt, die in irgendeiner der Zerlegungen vorkommt. Also haben wir: kgV(30, 42, 105) = 2^{1} \times 3^{1} \times 5^{1} \times 7^{1} = 2 \times 3 \times 5 \times 7 = 210 Das kleinste gemeinsame Vielfache von 30, 42 und 105 ist daher 210.
Solving Problems with gcd and lcm
Die Aufgabe möchte, dass wir verschiedene Dinge mit der Funktion kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) und ggT (größter gemeinsamer Teiler) lösen. Da ich auf dem Bild nur Teile der Aufgabe sehe, werde ich diese Stücke lösen. 1. Für welche x ist kgV(10, x) = 180? 2. Für die Zahlen u und v ist kgV(u,v)=45 und ggT(u,v)=15. Welche Werte könnten u und v haben? Lösungen: 1. Um herauszufinden, für welche x kgV(10, x) = 180 gilt, müssen wir uns überlegen, welche Zahlen ein Vielfaches von 10 sind und gleichzeitig mit 10 ein kgV von 180 haben. Zunächst müssen wir aufgrund der Definition des kgV erkennen, dass x ein Faktor von 180 sein muss. Da 180 = 2^2 * 3^2 * 5 ist, muss x = 2, 2^2, 3, 3^2, 5, 2*3, ... sein, solange das Produkt von 10 und den Faktoren von x 180 ergibt. Weil 10 bereits die Primfaktoren 2 und 5 hat, müssen wir diese Faktoren aus 180 herausdividieren, um die möglichen Werte von x zu erhalten. Also: 180 / 10 = 18 = 2 * 3^2 Somit kann x die Zahlen 18 (2 * 3^2), 36 (2^2 * 3^2), 9 (3^2) oder 18 * 5 (als Vielfache von 18, wenn man 5 wieder dazuzählt) sein. 2. Wenn kgV(u, v) = 45 und ggT(u, v) = 15 ist, dann können wir folgende Gleichungen aufstellen: u = 15a v = 15b wobei a und b teilerfremd sein müssen (d.h., ihr ggT ist 1), sonst wäre der ggT von u und v größer als 15. Da 45 = 3^2 * 5, und da u und v ein kgV von 45 haben sollen, könnten u und v wie folgt aussehen: u = 15 * 3 = 45 und v = 15 * 1 = 15 Oder eine andere Möglichkeit: u = 15 * 1 = 15 und v = 15 * 3 = 45 Hierbei soll auch darauf geachtet werden, dass 'a' und 'b' wegen der Definition des ggT und kgV nicht noch weitere gemeinsame Teiler außer 1 haben können (sonst wäre wiederum der ggT von u und v größer als 15). Sowohl (u,v) = (45,15) als auch (u,v) = (15,45) wären mögliche Lösungen.
Understanding Greatest Common Divisor and Least Common Multiple
Es sieht so aus, als ob die Aufgabe aus einem Mathematikbuch die Untersuchung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) der Zahlen 18 und 24 umfasst. a) Um verschiedene Beispiele für den ggT und das kgV zu untersuchen, können wir zunächst die Primfaktorzerlegung für jede Zahl durchführen. Die Primfaktorzerlegung von 18 ist 2 * 3^2. Die Primfaktorzerlegung von 24 ist 2^3 * 3. Für den größten gemeinsamen Teiler (ggT) nehmen wir die kleinsten Potenzen von gemeinsamen Primfaktoren: ggT(18, 24) = 2 * 3 = 6. Für das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) nehmen wir die größten Potenzen von allen Primfaktoren: kgV(18, 24) = 2^3 * 3^2 = 8 * 9 = 72. b) Eine allgemeine Regel für den ggT und das kgV zweier Zahlen a und b (wobei a und b natürliche Zahlen sind): - Der ggT von a und b ist das Produkt aller Primzahlen, die sowohl a als auch b vorhanden sind, jeweils in der kleinsten Potenz, in der sie in beiden Zahlen erscheinen. - Das kgV von a und b ist das Produkt aller einzigartigen Primzahlen, die in der Primfaktorzerlegung von a und b vorkommen, jeweils in der höchsten Potenz, die in einer der beiden Zahlen erscheint. Allgemein formuliert, wenn man zwei Zahlen a und b hat, kann man den ggT und das kgV bestimmen, indem man zuerst ihre Primfaktorzerlegung findet und dann die oben genannten Regeln anwendet. Ich hoffe, dass diese Erklärung bei der Lösung der Aufgabe hilft!
Determination of Greatest Common Divisor and Least Common Multiple
Um die Frage zu lösen, sollen wir den größten gemeinsamen Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Zahlen 18, 60 und 50 bestimmen. Zuerst finden wir den ggT der Zahlen 18, 60 und 50: Die Primfaktorzerlegung von 18 ist 2 × 3². Die Primfaktorzerlegung von 60 ist 2² × 3 × 5. Die Primfaktorzerlegung von 50 ist 2 × 5². Der ggT ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren in ihrer kleinsten Potenz: ggT(18, 60, 50) = 2. Jetzt bestimmen wir das kgV der Zahlen 18, 60 und 50: Das kgV ist das Produkt der Primfaktoren, die in irgendeiner der Zahlen vorkommen, in der höchsten Potenz, in der sie vorkommen: kgV(18, 60, 50) = 2² × 3² × 5² = 4 × 9 × 25 = 36 × 25 = 900. Daher ist der ggT von 18, 60 und 50 gleich 2 und das kgV dieser Zahlen ist 900.
Finding Greatest Common Divisor (gcd) and Least Common Multiple (lcm) of Numbers 60 and 75
Um ein gemeinsames Hasse-Diagramm der Zahlen 60 und 75 zu erstellen und den größten gemeinsamen Teiler (ggT) sowie das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) dieser beiden Zahlen zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor: Zuerst bestimmen wir die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen: 60 = 2^2 * 3 * 5 75 = 3 * 5^2 Um den ggT zu finden, nehmen wir die Primfaktoren, die in beiden Zerlegungen vorkommen, jeweils in der niedrigsten Potenz: ggT(60, 75) = 3 * 5 = 15 Für das kgV nehmen wir die Primfaktoren, die in mindestens einer der beiden Zerlegungen vorkommen und wählen jeweils die höchste Potenz: kgV(60, 75) = 2^2 * 3 * 5^2 = 4 * 3 * 25 = 300 Das Hasse-Diagramm, das die Teilerstruktur dieser Zahlen veranschaulicht, enthält alle Teiler von 60 und 75, wobei Linien zwischen den Zahlen gezeichnet werden, wenn eine Zahl ein Teiler der anderen ist. Da das Erstellen eines Hasse-Diagramms in Textform schwierig ist, würde es normalerweise grafisch dargestellt werden. Man würde sehen, dass 15 der größte gemeinsame Teiler von 60 und 75 ist und folglich im Diagramm an einer Stelle erscheint, die direkt unter beiden Zahlen liegt, während das kleinste gemeinsame Vielfache 300 am oberen Rand des Diagramms wäre, über beiden Zahlen. Ein Venn-Diagramm hingegen stellt die gemeinsamen und individuellen Primfaktoren dar und erleichtert das visuelle Identifizieren von ggT und kgV. In einem Venn-Diagramm würden sich die Kreise für 60 und 75 in den Primfaktoren 3 und 5 überschneiden, was dem ggT entspricht. Die Kombination aller einzigartigen und geteilten Primfaktoren würde das kgV ergeben.
Finding Numbers to Fulfill Given Conditions
Die Aufgabe besteht darin, natürliche Zahlen für a, b, c, d, x und y zu finden, die die gegebenen Bedingungen erfüllen. Lassen Sie uns jeden Teil Schritt für Schritt durchgehen: a) \( kgV(9, y) = 315 \) Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 9 und einer Zahl y ist 315. Um y zu finden, betrachten wir zunächst die Primfaktorzerlegung von 315: \( 315 = 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \) Da 9 bereits \( 3^2 \) enthält, muss y die Faktoren 5 und 7 enthalten, damit das kgV 315 ist. Also könnte y zum Beispiel 5, 7, 5x7=35 sein oder jede andere Zahl, die als Vielfache von 5 und 7 ohne den Faktor 3 geschrieben werden können. b) \( kgV(6, y) = 150 \) Für das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 6 und y gleich 150 schauen wir uns wieder die Primfaktorzerlegung von 150 an: \( 150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2 \) Da 6 bereits die Primzahlen 2 und 3 enthält, muss y die Primzahl 5 und mindestens die Potenz \( 5^2 \) enthalten. Also könnte y = \( 5^2 = 25 \) oder ein Vielfaches davon sein, solange es nicht den Primfaktor 2 oder 3 enthält. c) \( kgV(a, b) = 3 \) Da das kgV von a und b 3 ist, müssen beide Zahlen Faktoren von 3 sein. Das bedeutet, dass sowohl a als auch b entweder 1 oder 3 sein könnten, da weitere Faktoren das kgV erhöhen würden. Es gibt also zwei Fälle: (a=1, b=3) oder (a=3, b=1). d) \( kgV(c, d) = 6 \) Das kgV von c und d ist 6. Da 6 gleich \( 2 \cdot 3 \) ist, müssen c und d in einer Weise Faktoren oder Vielfache von 2 und 3 sein, dass das kgV 6 ist. Ein Beispiel kann wie folgt sein: c = 2 und d = 3. Es gibt auch weitere Möglichkeiten wie (c=1, d=6) oder (c=6, d=1). e) \( ggT(45,x) = 15 \) Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 45 und x ist 15. Wir betrachten die Primfaktorzerlegung von 45 und 15: \( 45 = 3^2 \cdot 5 \) \( 15 = 3 \cdot 5 \) Da 15 der ggT ist, müssen alle Faktoren von x, die im ggT vorhanden sind, in 45 vorhanden sein und umgekehrt. x muss also 15 sein oder ein Vielfaches von 15, das auch in der Faktorzerlegung von 45 enthalten ist (d.h. Faktoren von 3 und 5, ohne zusätzliche Primzahlen). Einige Beispiele sind x=15, 30, 45 usw. Es können nicht alle möglichen Zahlen für x genannt werden, weil es unendlich viele Vielfache von 15 gibt, die diese Bedingung erfüllen.
Finding the Smallest Divisible Number
Um die kleinste Zahl zu finden, die durch 9, 15, 24 und 125 teilbar ist, müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) dieser Zahlen bestimmen. Das kgV ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches aller Zahlen in der Menge ist. In diesem Fall müssen wir das kgV von 9, 15, 24 und 125 herausfinden. Um das kgV zu finden, beginnen wir damit, die Primfaktorzerlegung für jede der gegebenen Zahlen vorzunehmen: - 9 = 3^2 - 15 = 3 × 5 - 24 = 2^3 × 3 - 125 = 5^3 Nun nehmen wir jeden Primfaktor in der höchsten Potenz, die in jeder Zerlegung vorkommt: - 2^3 (weil 24 der höchste Exponent von 2 ist), - 3^2 (weil 9 der höchste Exponent von 3 ist), - 5^3 (weil 125 der höchste Exponent von 5 ist). Nun multiplizieren wir diese Primfaktoren, um das kgV zu erhalten: kgV = 2^3 × 3^2 × 5^3 = 8 × 9 × 125 = 72 × 125 = 9000 Die kleinste Zahl, die durch 9, 15, 24 und 125 teilbar ist, ist also 9000.
Finding the Least Common Multiple (LCM) of Multiple Numbers
Die Aufgaben bitten uns, die kleinste Zahl zu finden, die jeweils durch bestimmte Zahlen teilbar ist. Dies bedeutet, dass wir das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) dieser Zahlen finden müssen. Aufgabe 4: Die Zahlen sind 24, 45 und 250. Um das kgV zu bestimmen, zerlegen wir diese Zahlen zuerst in ihre Primfaktoren. 24 = 2^3 * 3^1 45 = 3^2 * 5^1 250 = 2^1 * 5^3 Jetzt nehmen wir die höchste Potenz jedes Primfaktors, der in irgendeiner Zerlegung vorkommt: 2^3 (weil 2^3 die höchste Potenz von 2 in diesen Zahlen ist) 3^2 (weil 3^2 die höchste Potenz von 3 in diesen Zahlen ist) 5^3 (weil 5^3 die höchste Potenz von 5 in diesen Zahlen ist) Das kgV ist das Produkt dieser Potenzen: kgV(24, 45, 250) = 2^3 * 3^2 * 5^3 = 8 * 9 * 125 = 72 * 125 = 9000. Die kleinste Zahl, die durch 24, 45 und 250 teilbar ist, ist also 9000. Aufgabe 5: Die Zahlen sind 9, 15, 24 und 125. Analog zur vorherigen Aufgabe zerlegen wir diese Zahlen in ihre Primfaktoren. 9 = 3^2 15 = 3^1 * 5^1 24 = 2^3 * 3^1 125 = 5^3 Wir nehmen die höchsten Potenzen jedes Primfaktors: 2^3 (weil 2^3 die höchste Potenz von 2 in diesen Zahlen ist) 3^2 (weil 3^2 die höchste Potenz von 3 in diesen Zahlen ist) 5^3 (weil 5^3 die höchste Potenz von 5 in diesen Zahlen ist) Das kgV ist: kgV(9, 15, 24, 125) = 2^3 * 3^2 * 5^3 = 8 * 9 * 125 = 72 * 125 = 9000. Also ist die kleinste Zahl, die durch 9, 15, 24 und 125 teilbar ist, ebenfalls 9000.
Finding the Least Common Multiple (LCM)
Um die Aufgabe zu lösen, müssen wir den kleinsten gemeinsamen Teiler (KGT) der Zahlen 24, 45 und 250 finden. Der KGT ist die kleinste Zahl, die durch alle drei Zahlen ohne Rest teilbar ist. Das ist ähnlich wie das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV), jedoch ist es wichtig zu bemerken, dass hier nach einer konkreten Zahl gefragt ist, die diese Zahlen als Teiler hat, nicht nur eine Beziehung zwischen ihnen. Hier ist, wie man den KGT finden kann: 1. Zerlege jede Zahl in ihre Primfaktoren. - 24 = 2^3 * 3 - 45 = 3^2 * 5 - 250 = 2 * 5^3 2. Wähle von jedem Primfaktor den höchsten Exponenten, der in jeder Zerlegung vorkommt. - Für 2 ist der höchste Exponent 3 (aus 24). - Für 3 ist der höchste Exponent 2 (aus 45). - Für 5 ist der höchste Exponent 3 (aus 250). 3. Multipliziere diese Primfaktoren mit ihren höchsten Exponenten, um den KGT zu bekommen. - KGT = 2^3 * 3^2 * 5^3 - KGT = 8 * 9 * 125 - KGT = 72 * 125 - KGT = 9000 Die kleinste mögliche Zahl, die 24, 45 und 250 als Teiler hat, ist 9000.
Finding the Least Common Multiple (LCM)
Um das Problem zu lösen, müssen wir nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) der Zahlen 24, 45 und 250 suchen, um die kleinstmögliche Zahl zu finden, die durch alle diese Zahlen teilbar ist. Wir könnten zuerst die Primfaktorzerlegung dieser Zahlen machen: 24 = 2^3 * 3 45 = 3^2 * 5 250 = 2 * 5^3 Das kgV findet man, indem man jeden Primfaktor in der höchsten Potenz nimmt, die in der Faktorisierung aller gegebenen Zahlen vorkommt: 2^3 (weil die höchste Potenz von 2 in den Zerlegungen 2^3 ist) 3^2 (weil die höchste Potenz von 3 in den Zerlegungen 3^2 ist) 5^3 (weil die höchste Potenz von 5 in den Zerlegungen 5^3 ist) Nun multiplizieren wir diese höchsten Potenzen: kgV(24, 45, 250) = 2^3 * 3^2 * 5^3 kgV(24, 45, 250) = 8 * 9 * 125 kgV(24, 45, 250) = 72 * 125 kgV(24, 45, 250) = 9000 Die kleinste Zahl, die durch 24, 45 und 250 teilbar ist, ist also 9000.
Finding the Least Common Multiple (LCM) of 66 and 240
The question in the image asks to determine the least common multiple (LCM) of 66 and 240. To find the LCM of two numbers, you can use the prime factorization method, where you break down each number into its prime factors and then multiply each factor the greatest number of times it occurs in either number. Let's find the prime factors of each: 1. Prime factors of 66: 66 = 2 × 3 × 11 2. Prime factors of 240: 240 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 240 = 2^4 × 3 × 5 Now, let's find the LCM: The LCM will include all prime factors that appear in either number, taken the greatest number of times they occur in either number's prime factorization. So, we take: - The factor 2: the greatest power of 2 appearing in either factorization is 2^4. - The factor 3: the greatest power of 3 appearing is 3^1 (or just 3). - The factor 5: this only appears in the factorization of 240, so we take it once. - The factor 11: this only appears in the factorization of 66, so we take it once. LCM(66, 240) = 2^4 × 3 × 5 × 11 = 16 × 3 × 5 × 11 = 48 × 5 × 11 = 240 × 11 = 2640 So, the least common multiple of 66 and 240 is 2640.
Mathematical Problems: Finding Least Common Multiple (LCM) and Greatest Common Divisor (GCD)
Изображение содержит две математические задачи на тему нахождения наименьшего общего кратного (НОК) и наибольшего общего делителя (НОД) для двух чисел. Для решения этих задач используются свойства делимости чисел. Первая задача требует найти НОК для двух чисел, а вторая задача ставит задачу найти НОД для двух чисел. Давайте начнем с нахождения НОК для первой пары чисел (пункт 1): 18 и 12. Шаг 1: Разложим каждое число на простые множители. 18 = 2 * 3^2 12 = 2^2 * 3 Шаг 2: Выберем максимальные степени каждого простого множителя из разложений. 2 (выберем степень 2, так как 2^2 > 2^1) 3 (выберем степень 2, так как 3^2 > 3^1) Шаг 3: Умножим выбранные степени, чтобы получить НОК. НОК(18, 12) = 2^2 * 3^2 = 4 * 9 = 36 Теперь рассмотрим вторую задачу на НОД для пары чисел (пункт 1): a = 2^3 * 3^5 и b = 2 * 3^2 * 5. Шаг 1: Разложение чисел на простые множители уже дано в условии. Шаг 2: Выберем минимальные степени каждого простого множителя, которые присутствуют в обоих числах. 2 (выберем степень 1, так как 2^1 < 2^3) 3 (выберем степень 2, так как 3^2 < 3^5) Шаг 3: Умножим выбранные степени, чтобы получить НОД. НОД(a, b) = 2^1 * 3^2 = 2 * 9 = 18 Таким образом, НОК для первой пары чисел равен 36, и НОД для второй пары чисел равен 18.
Finding the Least Common Multiple of Monomials and Polynomials
To find the least common multiple (LCM) of the given monomials \( 5x^7 \), \( 5x^6 - 10x^5 \), and \( 2x^8 + 8x^7 + 8x^6 \), you would first factor each monomial or polynomial into prime factors and include variables with their highest powers. Let's start by factoring the given expressions: 1. \( 5x^7 \) is already in its factored form. 2. \( 5x^6 - 10x^5 \) can be factored as \( 5x^5(x - 2) \). 3. \( 2x^8 + 8x^7 + 8x^6 \) can be factored by pulling out the greatest common factor, which is \( 2x^6 \), leaving us with \( 2x^6(x^2 + 4x + 4) \). However, since we are only interested in the LCM, which concerns the greatest powers of variables and prime factors, we don't need to factor the quadratic expression further. Now, we take the highest powers of each prime factor found in the terms: - The highest power of 2 is \( 2^1 \) from \( 2x^6(x^2 + 4x + 4) \). - The highest power of 5 is \( 5^1 \) from \( 5x^7 \) and \( 5x^5(x - 2) \). - The highest power of \( x \) is \( x^8 \) from \( 2x^8 + 8x^7 + 8x^6 \). Combining these, the LCM of the given expressions is: \[ 2^1 \cdot 5^1 \cdot x^8 = 10x^8 \] Therefore, the LCM is \( 10x^8 \).
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