Question - Determining the Greatest Common Divisor (GCD) and the Least Common Multiple (LCM) of Three Numbers
Solution:
Die Aufgabe besteht aus zwei Teilen, in denen der größte gemeinsame Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von drei Zahlen, 30, 42 und 105, bestimmt werden sollen.a) Für den ersten Teil der Aufgabe soll ein Venn-Diagramm gezeichnet werden, um den ggT zu ermitteln. Ich kann Ihnen leider kein Venn-Diagramm zeichnen, aber ich kann Ihnen erklären, wie man es macht.Die gegebenen Teilersets sind:T_{30} = \{1, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}T_{42} = \{1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42\}T_{105} = \{1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105\}In einem Venn-Diagramm würden wir drei sich überschneidende Kreise zeichnen, einen für jede der drei Zahlen. In die Überschneidungen schreiben wir die gemeinsamen Teiler der entsprechenden Zahlen ein. Zum Beispiel würde die Zahl 3, die ein Teiler von allen drei Zahlen ist, im Zentrum, wo sich alle drei Kreise überschneiden, stehen. Auf diese Weise können wir visuell den ggT identifizieren, der der größte Teiler ist, der in allen drei Kreisen zu finden ist. In diesem Fall ist der ggT 3.b) Dann sollen wir das kgV mittels koordinierter Primfaktorzerlegung bestimmen. Zuerst zerlegen wir jede Zahl in ihre Primfaktoren:30 = 2 \times 3 \times 542 = 2 \times 3 \times 7105 = 3 \times 5 \times 7Das kgV wird gefunden, indem man jeden Primfaktor in der höchsten Potenz nimmt, die in irgendeiner der Zerlegungen vorkommt. Also haben wir:kgV(30, 42, 105) = 2^{1} \times 3^{1} \times 5^{1} \times 7^{1} = 2 \times 3 \times 5 \times 7 = 210Das kleinste gemeinsame Vielfache von 30, 42 und 105 ist daher 210.
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