Question - Solving Problems with gcd and lcm
Solution:
Die Aufgabe möchte, dass wir verschiedene Dinge mit der Funktion kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) und ggT (größter gemeinsamer Teiler) lösen. Da ich auf dem Bild nur Teile der Aufgabe sehe, werde ich diese Stücke lösen.1. Für welche x ist kgV(10, x) = 180?2. Für die Zahlen u und v ist kgV(u,v)=45 und ggT(u,v)=15. Welche Werte könnten u und v haben?Lösungen:1. Um herauszufinden, für welche x kgV(10, x) = 180 gilt, müssen wir uns überlegen, welche Zahlen ein Vielfaches von 10 sind und gleichzeitig mit 10 ein kgV von 180 haben. Zunächst müssen wir aufgrund der Definition des kgV erkennen, dass x ein Faktor von 180 sein muss. Da 180 = 2^2 * 3^2 * 5 ist, muss x = 2, 2^2, 3, 3^2, 5, 2*3, ... sein, solange das Produkt von 10 und den Faktoren von x 180 ergibt. Weil 10 bereits die Primfaktoren 2 und 5 hat, müssen wir diese Faktoren aus 180 herausdividieren, um die möglichen Werte von x zu erhalten. Also:180 / 10 = 18 = 2 * 3^2Somit kann x die Zahlen 18 (2 * 3^2), 36 (2^2 * 3^2), 9 (3^2) oder 18 * 5 (als Vielfache von 18, wenn man 5 wieder dazuzählt) sein.2. Wenn kgV(u, v) = 45 und ggT(u, v) = 15 ist, dann können wir folgende Gleichungen aufstellen:u = 15av = 15bwobei a und b teilerfremd sein müssen (d.h., ihr ggT ist 1), sonst wäre der ggT von u und v größer als 15.Da 45 = 3^2 * 5, und da u und v ein kgV von 45 haben sollen, könnten u und v wie folgt aussehen:u = 15 * 3 = 45 und v = 15 * 1 = 15Oder eine andere Möglichkeit:u = 15 * 1 = 15 und v = 15 * 3 = 45Hierbei soll auch darauf geachtet werden, dass 'a' und 'b' wegen der Definition des ggT und kgV nicht noch weitere gemeinsame Teiler außer 1 haben können (sonst wäre wiederum der ggT von u und v größer als 15). Sowohl (u,v) = (45,15) als auch (u,v) = (15,45) wären mögliche Lösungen.
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