Question - Finding Numbers to Fulfill Given Conditions
Solution:
Die Aufgabe besteht darin, natürliche Zahlen für a, b, c, d, x und y zu finden, die die gegebenen Bedingungen erfüllen. Lassen Sie uns jeden Teil Schritt für Schritt durchgehen:a) $$ kgV(9, y) = 315 $$Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 9 und einer Zahl y ist 315. Um y zu finden, betrachten wir zunächst die Primfaktorzerlegung von 315:$$ 315 = 3^2 \cdot 5 \cdot 7 $$Da 9 bereits $$ 3^2 $$ enthält, muss y die Faktoren 5 und 7 enthalten, damit das kgV 315 ist. Also könnte y zum Beispiel 5, 7, 5x7=35 sein oder jede andere Zahl, die als Vielfache von 5 und 7 ohne den Faktor 3 geschrieben werden können.b) $$ kgV(6, y) = 150 $$Für das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 6 und y gleich 150 schauen wir uns wieder die Primfaktorzerlegung von 150 an:$$ 150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2 $$Da 6 bereits die Primzahlen 2 und 3 enthält, muss y die Primzahl 5 und mindestens die Potenz $$ 5^2 $$ enthalten. Also könnte y = $$ 5^2 = 25 $$ oder ein Vielfaches davon sein, solange es nicht den Primfaktor 2 oder 3 enthält.c) $$ kgV(a, b) = 3 $$Da das kgV von a und b 3 ist, müssen beide Zahlen Faktoren von 3 sein. Das bedeutet, dass sowohl a als auch b entweder 1 oder 3 sein könnten, da weitere Faktoren das kgV erhöhen würden. Es gibt also zwei Fälle: (a=1, b=3) oder (a=3, b=1).d) $$ kgV(c, d) = 6 $$Das kgV von c und d ist 6. Da 6 gleich $$ 2 \cdot 3 $$ ist, müssen c und d in einer Weise Faktoren oder Vielfache von 2 und 3 sein, dass das kgV 6 ist. Ein Beispiel kann wie folgt sein:c = 2 und d = 3. Es gibt auch weitere Möglichkeiten wie (c=1, d=6) oder (c=6, d=1).e) $$ ggT(45,x) = 15 $$Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 45 und x ist 15. Wir betrachten die Primfaktorzerlegung von 45 und 15:$$ 45 = 3^2 \cdot 5 $$$$ 15 = 3 \cdot 5 $$Da 15 der ggT ist, müssen alle Faktoren von x, die im ggT vorhanden sind, in 45 vorhanden sein und umgekehrt. x muss also 15 sein oder ein Vielfaches von 15, das auch in der Faktorzerlegung von 45 enthalten ist (d.h. Faktoren von 3 und 5, ohne zusätzliche Primzahlen). Einige Beispiele sind x=15, 30, 45 usw. Es können nicht alle möglichen Zahlen für x genannt werden, weil es unendlich viele Vielfache von 15 gibt, die diese Bedingung erfüllen.
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