Example Question - solving quadratic equations
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving quadratic equations with a given point
Untuk menyelesaikan persamaan f(x) = x^2 + 5x + c, masukkan nilai x dan f(x) dari titik (-2, -12). -12 = (-2)^2 + 5(-2) + c -12 = 4 - 10 + c -12 = -6 + c c = -12 + 6 c = -6
Solving Quadratic Equations with Coefficients
La ecuación que se muestra en la imagen es una ecuación cuadrática y se ve así: \[ 2x^2 - 4x + 1 = 0 \] Para resolver esta ecuación cuadrática, se puede utilizar la fórmula general para las raíces de una ecuación cuadrática, la cual es: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \] En donde \( a \), \( b \) y \( c \) son los coeficientes de la ecuación cuadrática. En este caso, tenemos que \( a = 2 \), \( b = -4 \), y \( c = 1 \). Primero calculamos el discriminante (\( \Delta \)), que es \( b^2 - 4ac \): \[ \Delta = (-4)^2 - 4(2)(1) = 16 - 8 = 8 \] Ahora usamos la fórmula general para encontrar los valores de \( x \): \[ x = \frac{{-(-4) \pm \sqrt{8}}}{{2(2)}} \] \[ x = \frac{{4 \pm \sqrt{8}}}{{4}} \] \[ x = \frac{{4 \pm 2\sqrt{2}}}{{4}} \] Podemos simplificar dividiendo numerador y denominador entre 2: \[ x = \frac{{2 \pm \sqrt{2}}}{{2}} \] De aquí obtenemos dos soluciones para la ecuación: \[ x_1 = \frac{{2 + \sqrt{2}}}{2} \] \[ x_2 = \frac{{2 - \sqrt{2}}}{2} \] Estas son las dos soluciones de la ecuación cuadrática dada.
Expanding a Quadratic Function
La función que se muestra en la imagen es \( f(x) = (2x^2 - 7x)^2 \). Para resolverla, tenemos que expandir la expresión. Esto lo hacemos aplicando la fórmula del cuadrado de un binomio, que es \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \). Siguiendo esta fórmula y aplicándola a nuestra función, tendremos lo siguiente: \( f(x) = (2x^2 - 7x)^2 \) \( f(x) = (2x^2)^2 - 2 \cdot (2x^2)(7x) + (7x)^2 \) \( f(x) = 4x^4 - 28x^3 + 49x^2 \) Así que, al expandir la expresión original, obtenemos \( f(x) = 4x^4 - 28x^3 + 49x^2 \). Esto completa el cuadrado de la expresión dada.
Quadratic Equation Solution
The given equation is a quadratic equation of the form ax^2 + bx + c = 0. To solve for x, we can use the quadratic formula: x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a) For our given equation: 3x^2 + 5x - 2 = 0 Here, a = 3, b = 5, and c = -2. Plugging these values into the quadratic formula gives us: x = [-5 ± sqrt(5^2 - 4 * 3 * (-2))] / (2 * 3) x = [-5 ± sqrt(25 + 24)] / 6 x = [-5 ± sqrt(49)] / 6 x = [-5 ± 7] / 6 This gives us two possible solutions for x: x = (-5 + 7) / 6 = 2 / 6 = 1/3 or x = (-5 - 7) / 6 = -12 / 6 = -2 Therefore, the solutions for x are x = 1/3 or x = -2.
Solving Quadratic Equations by Using the Quadratic Formula
The image you've provided is a little blurry, but it appears to show an algebraic expression that needs to be solved for x. The expression given is: 3x^2 + 5x - 2 = 0 This is a quadratic equation, which can be solved using several methods, such as factoring, completing the square, or using the quadratic formula. The quadratic formula states that for any quadratic equation in the form ax^2 + bx + c = 0, where a, b, and c are coefficients, the solutions for x can be found using: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) In this case, a = 3, b = 5, and c = -2. Plugging these values into the formula gives us: x = (-5 ± √(5^2 - 4*3*(-2))) / (2*3) x = (-5 ± √(25 + 24)) / 6 x = (-5 ± √49) / 6 x = (-5 ± 7) / 6 This results in two possible solutions for x: x = (-5 + 7) / 6 x = 2 / 6 x = 1 / 3 or x = (-5 - 7) / 6 x = -12 / 6 x = -2 So the solutions for x are x = 1/3 or x = -2.
Solving Quadratic Equation with Square Root
The equation shown in the image appears to be a quadratic equation written as: \[ \sqrt{x^2 - 2x - 5} = x \] To solve this problem, we will first need to square both sides of the equation to eliminate the square root. Remember that when you square both sides of an equation, you may introduce extraneous solutions, so you'll need to check your answers in the original equation later. \[ (\sqrt{x^2 - 2x - 5})^2 = x^2 \] \[ x^2 - 2x - 5 = x^2 \] After squaring both sides, we notice that the x^2 terms on both sides of the equation are identical and they cancel out. \[ -2x - 5 = 0 \] Now, add 2x to both sides to isolate the constant term: \[ -5 = 2x \] To solve for x, divide both sides by 2: \[ x = -5 / 2 \] \[ x = -2.5 \] So the potential solution is x = -2.5. However, because we squared the equation to remove the square root, we need to verify that this potential solution satisfies the original equation: \[ \sqrt{(-2.5)^2 - 2(-2.5) - 5} \overset{?}{=} -2.5 \] Calculate the expression under the square root: \[ \sqrt{6.25 + 5 - 5} \] \[ \sqrt{6.25} \] We find the square root of 6.25: \[ \sqrt{6.25} = 2.5 \] Note that the square root of a positive number is positive, so the left side yields 2.5, not -2.5. Therefore, the potential solution x = -2.5 does not satisfy the original equation. This means that there is no solution to the original equation because the square root of a real number cannot equal a negative number. Thus, the original equation has no real solutions. If we needed to find complex solutions, we could continue the process knowing that the square root function would involve imaginary numbers when handling negative quantities, but based on the equation given, it seems we're dealing with real numbers only.
Solving Quadratic Equations Using the Quadratic Formula
题目要求解方程 \(x^2 - 5x + 5 = 0\)。我们可以用求根公式（也称为二次方程的根的通用公式）来解这个方程。该公式为： \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] 其中，\(a\)、\(b\) 和 \(c\) 分别是方程 \(ax^2 + bx + c = 0\) 中的系数。在我们的例子中，\(a = 1\)、\(b = -5\)、\(c = 5\)。 根据这些值，我们可以将它们代入公式： \[x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}\] \[x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 20}}{2}\] \[x = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}\] 所以，方程的解是： \[x_1 = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}\] \[x_2 = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}\] 这就是方程 \(x^2 - 5x + 5 = 0\) 的两个解。
Solving a System of Quadratic Equations
Để giải bài toán này, ta có thể áp dụng phương pháp giải hệ phương trình bậc hai. Hệ phương trình đã cho là: \[\begin{cases} u + v = 18\\ uv = 72 \end{cases}\] Đặt \(x = u\) và \(y = v\), ta có hệ phương trình: \[\begin{cases} x + y = 18\\ xy = 72 \end{cases}\] Đây là một hệ phương trình đối xứng. Ta có thể giải quyết vấn đề này bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Nếu \(x\) và \(y\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai, thì phương trình đó có dạng: \(t^2 - (x+y)t + xy = 0\). Áp dụng vào hệ, ta được phương trình: \(t^2 - 18t + 72 = 0\) Giải phương trình này, ta có thể tìm ra \(t\) là \(x\) hoặc \(y\): \(t^2 - 18t + 72 = 0\) \((t - 6)(t - 12) = 0\) Do đó \(t = 6\) hoặc \(t = 12\). Vậy hai số \(u\) và \(v\) cần tìm là 6 và 12 (hoặc 12 và 6, vì hệ phương trình là đối xứng, thứ tự của \(u\) và \(v\) không quan trọng).
Solving Quadratic Equations and Finding Parameters
Phần ảnh bạn cung cấp gồm có hai câu hỏi. Tôi sẽ giải từng câu một. 1) Giải phương trình: \(9x^2 - 11x + 2 = 0\). Phương trình này có thể giải thông qua công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \(ax^2 + bx + c = 0\) có nghiệm \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). Ta có \(a = 9\), \(b = -11\), và \(c = 2\). Thực hiện theo công thức, ta có: \(x = \frac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 * 9 * 2}}{2 * 9}\) \(x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 72}}{18}\) \(x = \frac{11 \pm \sqrt{49}}{18}\) \(x = \frac{11 \pm 7}{18}\) Từ đó ta có hai nghiệm: \(x = \frac{11 + 7}{18} = \frac{18}{18} = 1\) \(x = \frac{11 - 7}{18} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}\) Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x = 1\) và \(x = \frac{2}{9}\). 2) Câu hỏi thứ hai yêu cầu giải phương trình \(x^2 + (1 - m)x - m = 0\) và tìm giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 9\). Trước hết, để phương trình có hai nghiệm phân biệt, \(\Delta > 0\), tức là: \((1 - m)^2 - 4(-m) > 0\) \(1 - 2m + m^2 + 4m > 0\) \(m^2 + 2m + 1 > 0\) \((m + 1)^2 > 0\). Điều này luôn đúng với mọi \(m \neq -1\). Áp dụng định lý Vi-ét, ta có \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) và \(x_1 x_2 = \frac{c}{a}\). \(x_1 + x_2 = -\frac{1 - m}{1} = m - 1\) \(x_1 x_2 = -\frac{-m}{1} = m\). Theo yêu cầu của đề bài, ta cần \(x_1^2 + x_2^2 = 9\). Sử dụng công thức \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\), ta có: \((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 9\) \((m - 1)^2 - 2m = 9\) \(m^2 - 2m + 1 - 2m = 9\) \(m^2 - 4m - 8 = 0\). Ta giải phương trình bậc hai này, sử dụng công thức nghiệm: \(m = \frac{4 \pm \sqrt{(4)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)}\) \(m = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2}\) \(m = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2}\) \(m = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2}\) \(m = 2 \pm 2\sqrt{3}\). Vậy có hai giá trị của \(m\) thoả mãn điều kiện đề bài là \(m = 2 + 2\sqrt{3}\) và \(m = 2 - 2\sqrt{3}\) (với \(m \neq -1\)).
Solving Quadratic Equations
Кешіріңіз, суретте көрсетілген теңдеуді келесі тәртіппен шешеміз: \( (k^2 - 16) \cdot (2k + 32) = 0 \) Бұл екілік көбейтінді түріндегі теңдеу, сондықтан біз көбейткіштердің әрқайсысын жеке-жеке тең нөлге теңестіреміз: 1) \( k^2 - 16 = 0 \) Бұл бірінші дәрежелі теңдеу, оны шешу үшін: \( k^2 = 16 \) \( k = \pm\sqrt{16} \) \( k = \pm4 \) 2) \( 2k + 32 = 0 \) Бұл екінші бірінші дәрежелі теңдеу, оны шешу үшін: \( 2k = -32 \) \( k = -32 / 2 \) \( k = -16 \) Демек, бұл теңдеудің үш шешімі бар: \( k = 4, k = -4 \), және \( k = -16 \).
Solving Quadratic Equations and Finding Equation in Standard Form
To find the equation of a quadratic function in the form of f(x) = ax^2 + bx + c, we should identify key points on the graph to help us determine the values of a, b, and c. From the graph provided, there are two points we can use: 1. The vertex of the parabola, which is (3, -9). 2. Another point on the curve, which is (6, 6). The vertex form of a quadratic equation is given by: f(x) = a(x - h)^2 + k, where (h, k) is the vertex of the parabola. Since we know the vertex is (3, -9), the vertex form of our equation becomes: f(x) = a(x - 3)^2 - 9. We can use the other given point (6, 6) to find the value of 'a'. Plugging the point into the vertex form gives us: 6 = a(6 - 3)^2 - 9 6 = a(3)^2 - 9 6 = 9a - 9 Now, add 9 to both sides to get: 6 + 9 = 9a 15 = 9a Divide both sides by 9 to solve for 'a': 15 / 9 = a a = 5/3. Now we can write the complete equation for the parabola: f(x) = (5/3)(x - 3)^2 - 9. To write it in standard form, we can expand the squared term and distribute 'a': f(x) = (5/3)(x^2 - 6x + 9) - 9 f(x) = (5/3)x^2 - 10x + 15 - 9 f(x) = (5/3)x^2 - 10x + 6. So the equation of the quadratic function in standard form is: f(x) = (5/3)x^2 - 10x + 6.
Solving Quadratic Equations by Factoring
Đầu tiên chúng ta sẽ cố gắng đặt phương trình đã cho dưới dạng tích của hai biểu thức, sau đó ta có thể sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử để giải quyết bài toán này. Phương trình là: \[ y\sqrt{y} - 16 + 2\sqrt{y} + y = 0 \] Ta có thể nhóm các hạng tử có chung \(\sqrt{y}\) lại với nhau: \[ \sqrt{y}(y + 2) - 16 + y = 0 \] Sau khi nhận thấy rằng -16 có thể viết dưới dạng \(4^2\) và nhóm cùng với \(y\), ta có thể viết lại phương trình dưới dạng: \[ \sqrt{y}(y + 2) + (\sqrt{y} - 4)(\sqrt{y} + 4) = 0 \] Đây là công thức nhân có dạng \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\). Tiếp theo đặt \(\sqrt{y} = a\) và \(4 = b\): \[ a(y + 2) + (a - b)(a + b) = 0 \] Giờ đây, ta có công thức nhân của hai nhân tử là \(0\): \[ (a + 2)(a^2 - b^2) = 0 \] Theo công thức này, ta có thể có \(a = -2\) hoặc \(a^2 = b^2\) (vì một trong hai nhân tử phải bằng 0 để tổng bằng 0). Khi \(a = -2\), ta có \(\sqrt{y} = -2\) nhưng điều này không thể xảy ra vì căn bậc hai không thể là số âm. Do vậy, ta xem xét trường hợp thứ hai: \[ a^2 = b^2 \] \[ (\sqrt{y})^2 = 4^2 \] \[ y = 16 \] Tới đây, ta có \(y = 16\). Để tìm \(x\), ta thay \(y\) trở lại phương trình ban đầu: \[ 16\sqrt{16} - 16 + 2\sqrt{16} + x = 0 \] \[ 16*4 - 16 + 2*4 + x = 0 \] \[ 64 - 16 + 8 + x = 0 \] \[ 56 + x = 0 \] \[ x = -56 \] Cuối cùng, ta cần tìm \(y - x\): \[ y - x = 16 - (-56) \] \[ y - x = 16 + 56 \] \[ y - x = 72 \] Kiểm tra với các lựa chọn đáp án, ta thấy không có đáp án nào khớp. Vì vậy, đáp án chính xác cho câu hỏi này là: \[ (d) \text{None of the above}\]
Solving Quadratic Equations with the General Formula
Para resolver la ecuación cuadrática \( x^2 + 8x - 5 \), primero intentaremos encontrar dos números que multiplicados den como resultado -5 y que sumados den como resultado 8. Sin embargo, en este caso no es fácil encontrar dos números que cumplan con estas condiciones, por lo que usaré la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas, que es: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] En la ecuación dada, \( a = 1 \), \( b = 8 \), y \( c = -5 \). Sustituyendo estos valores en la fórmula general, obtenemos: \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} \] \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 20}}{2} \] \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{84}}{2} \] \[ x = \frac{-8 \pm 2\sqrt{21}}{2} \] \[ x = -4 \pm \sqrt{21} \] Por lo tanto, las soluciones de la ecuación cuadrática son \( x = -4 + \sqrt{21} \) y \( x = -4 - \sqrt{21} \). Estas son las dos raíces de la función cuadrática y los puntos en los cuales la curva de la función cortará el eje x en una gráfica.
Solving Quadratic Equations with Quadratic Formula
The image contains a mathematical expression: \[ 3x^2 + x - 10 \] To solve this quadratic equation, we would typically first try to factor it, if possible. However, if the quadratic doesn't factor easily or at all, then we can use the quadratic formula to find the roots of the equation, which is given by: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] In this case, the coefficients for our quadratic expression \(3x^2 + x - 10\) are \(a = 3\), \(b = 1\), and \(c = -10\). Let's apply the quadratic formula: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(3)(-10)}}{2(3)} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{6} \] \[ x = \frac{-1 \pm 11}{6} \] This gives us two solutions: \[ x = \frac{-1 + 11}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \] \[ x = \frac{-1 - 11}{6} = -2 \] Therefore, the two solutions to the equation \(3x^2 + x - 10 = 0\) are \(x = \frac{5}{3}\) and \(x = -2\).
Solving Quadratic Equations
The equation in the image is a quadratic equation. It reads: -m² - 7m - 4 = -2m². To solve for m, we should first simplify and rearrange the equation to standard quadratic form ax² + bx + c = 0. We can start by adding 2m² to both sides to combine like terms: -m² + 2m² - 7m - 4 = 0, which simplifies to: m² - 7m - 4 = 0. Now, we have a standard quadratic equation that we can solve by factoring, completing the square, or using the quadratic formula. This equation doesn't easily factor, so let's use the quadratic formula: m = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / (2a), where a = 1, b = -7, and c = -4. Plugging in these values: m = [-(-7) ± sqrt((-7)² - 4 * 1 * (-4))] / (2 * 1), m = [7 ± sqrt(49 + 16)] / 2, m = [7 ± sqrt(65)] / 2. So the solutions for m are: m = (7 + sqrt(65)) / 2 and m = (7 - sqrt(65)) / 2.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com