Example Question - pythagorean theorem
Here are examples of questions we've helped users solve.
Calculating Distance and Displacement
<p>La distancia es la longitud total del camino recorrido por el auto, que es igual a la suma de los desplazamientos en cada dirección:</p> \[ \text{Distancia} = 52 \text{ km} + 27 \text{ km} = 79 \text{ km} \] <p>El desplazamiento es el vector que va desde el punto inicial al final.</p> <p>Para calcular la magnitud del desplazamiento, usamos el teorema de Pitágoras, considerando un desplazamiento de 52 km hacia el Este y 27 km hacia el Sur, que forman un triángulo rectángulo.</p> \[ \text{Desplazamiento} = \sqrt{(52 \text{ km})^2 + (27 \text{ km})^2} \] \[ \text{Desplazamiento} = \sqrt{2704 + 729} \] \[ \text{Desplazamiento} = \sqrt{3433} \] \[ \text{Desplazamiento} \approx 58.6 \text{ km} \]
Right Triangle Problem
<p>Para resolver este problema, necesitamos aplicar el teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. La fórmula es:</p> <p>\[a^2 + b^2 = c^2\]</p> <p>Donde \(a\) y \(b\) son los catetos, y \(c\) es la hipotenusa. En este caso, tenemos un triángulo con catetos de longitud 6 cm y 7.5 cm.</p> <p>Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos:</p> <p>\[6^2 + 7.5^2 = c^2\]</p> <p>\[36 + 56.25 = c^2\]</p> <p>\[92.25 = c^2\]</p> <p>Tomando la raíz cuadrada de ambos lados:</p> <p>\[c = \sqrt{92.25}\]</p> <p>\[c = 9.6\, \text{cm}\]</p> <p>Por lo tanto, la longitud de la hipotenusa es de 9.6 cm.</p> <p>Para encontrar el valor del ángulo que no es de 90 grados y es adyacente al lado de 6 cm, podemos usar la función trigonométrica tangente, que es la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:</p> <p>\[\tan(\theta) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}\]</p> <p>En este caso, el cateto opuesto al ángulo es de 7.5 cm y el cateto adyacente es de 6 cm. Así que:</p> <p>\[\tan(\theta) = \frac{7.5}{6}\]</p> <p>\[\theta = \arctan\left(\frac{7.5}{6}\right)\]</p> <p>Usando una calculadora, encontramos que:</p> <p>\[\theta \approx 51.34^\circ\]</p> <p>Por lo tanto, el valor del ángulo \(\theta\) es aproximadamente 51.34 grados.</p>
Triangle Side Relationships
Para resolver el problema, necesitamos usar el teorema de Pitágoras para verificar la validez de las longitudes de los lados del triángulo. El teorema de Pitágoras se expresa como \( c^2 = a^2 + b^2 \), donde \( c \) es la longitud de la hipotenusa y \( a \) y \( b \) son las longitudes de los catetos. <p>Tomamos los valores dados en la imagen:</p> <p>\( a = 9 \) cm (cateto opuesto)</p> <p>\( b = 12 \) cm (cateto adyacente)</p> <p>\( c = 16 \) cm (hipotenusa)</p> <p>Aplicamos el teorema de Pitágoras:</p> \[ c^2 = a^2 + b^2 \] \[ 16^2 = 9^2 + 12^2 \] \[ 256 = 81 + 144 \] \[ 256 = 225 \] <p>Como \( 256 \neq 225 \), la relación dada no cumple con el teorema de Pitágoras. Por lo tanto, las longitudes dadas para los lados del triángulo son incorrectas.</p>
Calculating Resultant Vector Magnitude
<p>The given vectors form the legs of a right triangle with one vector pointing East with a magnitude of \( 24.0 \, m \) and the other pointing North with a magnitude of \( 14.0 \, m \).</p> <p>Using the equation for the magnitude of the resultant vector \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \), where \( a \) and \( b \) are the magnitudes of the individual vectors:</p> <p>\( c = \sqrt{(24.0 \, m)^2 + (14.0 \, m)^2} \)</p> <p>\( c = \sqrt{576.0 \, m^2 + 196.0 \, m^2} \)</p> <p>\( c = \sqrt{772.0 \, m^2} \)</p> <p>\( c \approx 27.8 \, m \)</p> <p>The magnitude of the resultant vector is approximately \( 27.8 \, m \).</p>
Calculation of a Triangle Side
<p>Из условия задачи, \( LN = 3 \) и \( LM = 4 \). Так как \( L \) – прямой угол, треугольник \( MNL \) является прямоугольным и по теореме Пифагора:</p> <p>\[ LK^2 = LM^2 + LN^2 \]</p> <p>\[ LK^2 = 4^2 + 3^2 \]</p> <p>\[ LK^2 = 16 + 9 \]</p> <p>\[ LK^2 = 25 \]</p> <p>\[ LK = \sqrt{25} \]</p> <p>\[ LK = 5 \]</p> <p>Таким образом, длина стороны \( LK \) этого треугольника равна 5.</p>
Finding the Hypotenuse of a Right Triangle with Given Leg Lengths
<p>The question asks to find the hypotenuse \( c \) of a right triangle with legs \( a = 3 \) and \( b = 4 \).</p> <p>We use the Pythagorean theorem: \( a^2 + b^2 = c^2 \).</p> <p>Substitute the given values: \( 3^2 + 4^2 = c^2 \).</p> <p>Calculate the squares: \( 9 + 16 = c^2 \).</p> <p>Add the results: \( 25 = c^2 \).</p> <p>Take the square root of both sides: \( \sqrt{25} = \sqrt{c^2} \).</p> <p>Thus, \( c = 5 \).</p>
Area of a Circle with an Inscribed Square
<p>Let the side of the square be \( s \). Since the area of the square is 4, we have:</p> <p>\( s^2 = 4 \)</p> <p>\( s = 2 \)</p> <p>The diameter of the circle is the diagonal of the square. Using the Pythagorean theorem:</p> <p>\( \text{diagonal}^2 = s^2 + s^2 \)</p> <p>\( \text{diagonal}^2 = 2^2 + 2^2 \)</p> <p>\( \text{diagonal}^2 = 4 + 4 \)</p> <p>\( \text{diagonal}^2 = 8 \)</p> <p>\( \text{diagonal} = \sqrt{8} \)</p> <p>\( \text{diagonal} = 2\sqrt{2} \)</p> <p>Since the diameter is \( 2\sqrt{2} \), the radius \( r \) is \( \sqrt{2} \). The area \( A \) of the circle is:</p> <p>\( A = \pi r^2 \)</p> <p>\( A = \pi (\sqrt{2})^2 \)</p> <p>\( A = \pi \cdot 2 \)</p> <p>\( A = 2\pi \)</p> <p>Therefore, the correct answer is \( B: 2\pi \).</p>
Calculating the Hypotenuse of a Right Triangle
\[ c^2 = a^2 + b^2 \] \[ c^2 = 3^2 + 4^2 \] \[ c^2 = 9 + 16 \] \[ c^2 = 25 \] \[ c = \sqrt{25} \] \[ c = 5 \]
Calculating the Hypotenuse of a Right Triangle
Given \( a = 3 \) and \( b = 4 \) \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \] \[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \] \[ c = \sqrt{9 + 16} \] \[ c = \sqrt{25} \] \[ c = 5 \]
Demonstration of the Pythagorean Theorem
The image shows an equation representing the Pythagorean Theorem which states that in a right-angled triangle, the square of the length of the hypotenuse \((c)\) is equal to the sum of the squares of the lengths of the other two sides \((a)\) and \((b)\). The Pythagorean Theorem is expressed as: \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Calculating height of a rectangle using Pythagorean theorem
1. Identificar las longitudes dadas: base (b = 35 cm) y diagonal (d = 37 cm). 2. Aplicar el teorema de Pitágoras: a² + b² = d², donde a es la altura buscada. 3. Sustituir los valores conocidos en la ecuación: a² + 35² = 37². 4. Calcular 35²: 35² = 1225. 5. Calcular 37²: 37² = 1369. 6. Reemplazar los cuadrados en la ecuación: a² + 1225 = 1369. 7. Despejar a²: a² = 1369 - 1225. 8. Realizar la resta: a² = 144. 9. Hallar la raíz cuadrada de 144: a = √144. 10. Calcular √144: a = 12. 11. Concluir que la altura (a) del rectángulo es 12 cm.
Solving Triangles using the Pythagorean Theorem
Para resolver este problema, vamos a calcular el cuadrado de cada lado de los triángulos dados y verificar si cumplen con el teorema de Pitágoras, cuyo enunciado es \(a^2 + b^2 = c^2\), donde \(c\) es la hipotenusa y \(a\) y \(b\) son los catetos de un triángulo rectángulo. Triángulo 1: - \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\) - \(5^2 = 25\) Triángulo 2: - \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\) - \(13^2 = 169\) Triángulo 3: - \(8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289\) - \(17^2 = 289\) Todos los triángulos cumplen con el teorema de Pitágoras; por lo tanto, todos son triángulos rectángulos.
Verification of Pythagorean Theorem in Triangles
Por supuesto, vamos a calcular el cuadrado de los tres lados de cada triángulo y verificar si se cumple el Teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado más largo del triángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (los catetos). Para el triángulo 1): a^2 = 2^2 = 4 b^2 = 3^2 = 9 c^2 = 13^2 = 169 Comprobación: a^2 + b^2 ≠ c^2 (4 + 9 ≠ 169), por lo que no cumple el Teorema de Pitágoras. Para el triángulo 2): a^2 = 8^2 = 64 b^2 = 6^2 = 36 c^2 = 10^2 = 100 Comprobación: a^2 + b^2 = c^2 (64 + 36 = 100), por lo que sí cumple el Teorema de Pitágoras. Para el triángulo 3): a^2 = 6^2 = 36 b^2 = 7^2 = 49 c^2 = 8^2 = 64 Comprobación: a^2 + b^2 ≠ c^2 (36 + 49 ≠ 64), por lo que no cumple el Teorema de Pitágoras. El único triángulo que cumple con el Teorema de Pitágoras es el triángulo número 2).
Calculation of Hypotenuse Using Pythagorean Theorem
La imagen muestra tres triángulos, y la instrucción pide calcular el cuadrado de los tres lados de cada triángulo y comprobar que se cumple el Teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Vamos a resolver cada triángulo por separado: 1) Para el primer triángulo: - Lado a = 13 cm - Lado b = 84 cm Aplicamos el Teorema de Pitágoras: \(a^2 + b^2 = c^2\) \(13^2 + 84^2 = c^2\) \(169 + 7056 = c^2\) \(7225 = c^2\) \(c = \sqrt{7225}\) \(c = 85 cm\) 2) Para el segundo triángulo: - Lado a = 50 cm - Lado b = 120 cm Aplicamos el Teorema de Pitágoras: \(a^2 + b^2 = c^2\) \(50^2 + 120^2 = c^2\) \(2500 + 14400 = c^2\) \(16900 = c^2\) \(c = \sqrt{16900}\) \(c = 130 cm\) 3) Para el tercer triángulo: - Lado a = 45 cm - Lado b = 28 cm Aplicamos el Teorema de Pitágoras: \(a^2 + b^2 = c^2\) \(45^2 + 28^2 = c^2\) \(2025 + 784 = c^2\) \(2809 = c^2\) \(c = \sqrt{2809}\) \(c = 53 cm\) De este modo, hemos calculado la hipotenusa de los tres triángulos y verificado que se cumple el Teorema de Pitágoras en cada caso.
Calculating the Total Length of the Equilateral Triangle's Base
Para resolver esta pregunta, utilizaremos el teorema de Pitágoras, que nos permite encontrar la longitud de un lado de un triángulo rectángulo si conocemos las longitudes de los otros dos lados. En el triángulo de la imagen, buscaremos primero la longitud del segmento que corresponde a la altura del triángulo equilátero, que también será la hipotenusa para los dos triángulos rectángulos que se forman al trazar la altura. Para el triángulo equilátero con lado \( x \) y altura \( h \), podemos cortar el triángulo por la mitad de la base para obtener dos triángulos rectángulos con una base de \( \frac{x}{2} \) y la misma altura \( h \). Usamos el teorema de Pitágoras \( a^2 + b^2 = c^2 \), donde: \( a \) es uno de los catetos (en este caso, \( \frac{x}{2} \)), \( b \) es el otro cateto (la altura \( h \)), \( c \) es la hipotenusa (en este caso, \( x \)). Entonces, tenemos: \( \left(\frac{x}{2}\right)^2 + h^2 = x^2 \). Sustituimos el valor conocido de \( h \), que es \( 8 \): \( \left(\frac{x}{2}\right)^2 + 8^2 = x^2 \), \( \frac{x^2}{4} + 64 = x^2 \). Multiplicamos todo por \( 4 \) para deshacernos del denominador: \( x^2 + 256 = 4x^2 \). Restamos \( x^2 \) de ambos lados para obtener: \( 256 = 3x^2 \). Ahora, dividimos ambos lados entre \( 3 \): \( \frac{256}{3} = x^2 \). Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados para obtener \( x \): \( x = \sqrt{\frac{256}{3}} \), \( x = \frac{16}{\sqrt{3}} \), \( x = \frac{16\sqrt{3}}{3} \) (racionalizamos el denominador). La longitud de cada lado del triángulo equilátero es \( \frac{16\sqrt{3}}{3} \). Finalmente, para encontrar la longitud total de la base del triángulo equilátero grande (que es la suma de los tres lados de los triángulos pequeños dibujados en el interior, es decir, \( x + 8 + x \)), multiplicamos \( x \) por \( 2 \) y sumamos \( 8 \): \( 2x + 8 = 2\left(\frac{16\sqrt{3}}{3}\right) + 8 = \frac{32\sqrt{3}}{3} + 8 \). Para sumar esta expresión con \( 8 \), convertimos \( 8 \) a una fracción con el mismo denominador \( 3 \): \( 8 = \frac{8 \cdot 3}{3} = \frac{24}{3} \). Sumamos \( 8 \) a la expresión anterior: \( \frac{32\sqrt{3}}{3} + \frac{24}{3} = \frac{32\sqrt{3} + 24}{3} \). Por lo tanto, la longitud total de la base del triángulo equilátero grande es: \( \frac{32\sqrt{3} + 24}{3} \).
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