Question - Calculating the Total Length of the Equilateral Triangle's Base
Solution:
Para resolver esta pregunta, utilizaremos el teorema de Pitágoras, que nos permite encontrar la longitud de un lado de un triángulo rectángulo si conocemos las longitudes de los otros dos lados.En el triángulo de la imagen, buscaremos primero la longitud del segmento que corresponde a la altura del triángulo equilátero, que también será la hipotenusa para los dos triángulos rectángulos que se forman al trazar la altura.Para el triángulo equilátero con lado $$ x $$ y altura $$ h $$, podemos cortar el triángulo por la mitad de la base para obtener dos triángulos rectángulos con una base de $$ \frac{x}{2} $$ y la misma altura $$ h $$.Usamos el teorema de Pitágoras $$ a^2 + b^2 = c^2 $$, donde:$$ a $$ es uno de los catetos (en este caso, $$ \frac{x}{2} $$),$$ b $$ es el otro cateto (la altura $$ h $$),$$ c $$ es la hipotenusa (en este caso, $$ x $$).Entonces, tenemos:$$ \left(\frac{x}{2}\right)^2 + h^2 = x^2 $$.Sustituimos el valor conocido de $$ h $$, que es $$ 8 $$:$$ \left(\frac{x}{2}\right)^2 + 8^2 = x^2 $$,$$ \frac{x^2}{4} + 64 = x^2 $$.Multiplicamos todo por $$ 4 $$ para deshacernos del denominador:$$ x^2 + 256 = 4x^2 $$.Restamos $$ x^2 $$ de ambos lados para obtener:$$ 256 = 3x^2 $$.Ahora, dividimos ambos lados entre $$ 3 $$:$$ \frac{256}{3} = x^2 $$.Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados para obtener $$ x $$:$$ x = \sqrt{\frac{256}{3}} $$,$$ x = \frac{16}{\sqrt{3}} $$,$$ x = \frac{16\sqrt{3}}{3} $$ (racionalizamos el denominador).La longitud de cada lado del triángulo equilátero es $$ \frac{16\sqrt{3}}{3} $$.Finalmente, para encontrar la longitud total de la base del triángulo equilátero grande (que es la suma de los tres lados de los triángulos pequeños dibujados en el interior, es decir, $$ x + 8 + x $$), multiplicamos $$ x $$ por $$ 2 $$ y sumamos $$ 8 $$:$$ 2x + 8 = 2\left(\frac{16\sqrt{3}}{3}\right) + 8 = \frac{32\sqrt{3}}{3} + 8 $$.Para sumar esta expresión con $$ 8 $$, convertimos $$ 8 $$ a una fracción con el mismo denominador $$ 3 $$:$$ 8 = \frac{8 \cdot 3}{3} = \frac{24}{3} $$.Sumamos $$ 8 $$ a la expresión anterior:$$ \frac{32\sqrt{3}}{3} + \frac{24}{3} = \frac{32\sqrt{3} + 24}{3} $$.Por lo tanto, la longitud total de la base del triángulo equilátero grande es:$$ \frac{32\sqrt{3} + 24}{3} $$.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com