Example Question - number theory
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding the Lowest Common Multiple
<p>We need to find the LCM of 18, 36, and 54.</p> <p>Step 1: Factor each number into its prime factors:</p> <p>18 = 2 \times 3^2</p> <p>36 = 2^2 \times 3^2</p> <p>54 = 2 \times 3^3</p> <p>Step 2: Take the highest power of each prime:</p> <p>For 2: highest power is \(2^2\)</p> <p>For 3: highest power is \(3^3\)</p> <p>Step 3: Multiply these together:</p> <p>LCM = 2^2 \times 3^3 = 4 \times 27 = 108</p> <p>The lowest common multiple (LCM) of 18, 36, and 54 is 108.</p>
Finding a Specific Three-Digit Number
<p>Tìm số có 3 chữ số là x.</p> <p>Khi viết số 2 vào bên phải số đó, ta có: 10x + 2.</p> <p>Đề bài yêu cầu: 10x + 2 = x + 410.</p> <p>Giải phương trình: 10x + 2 - x = 410.</p> <p>9x + 2 = 410.</p> <p>9x = 408.</p> <p>x = 45.</p> <p>Số cần tìm là 045 (hoặc 45 trong bối cảnh chữ số ba chữ số).</p>
Finding a Specific Number Based on Conditions
<p>Let the three-digit number be represented as \( xyz \), where \( x, y, z \) are its digits.</p> <p>According to the problem, if we append the digit 2 to the right of \( xyz \), we form the number \( xyz2 \).</p> <p>We require that \( xyz2 > 4106 \).</p> <p>Express \( xyz2 \) as \( 1000x + 100y + 10z + 2 \).</p> <p>Thus, we want to find \( 1000x + 100y + 10z + 2 > 4106 \).</p> <p>By simplifying, we have \( 1000x + 100y + 10z > 4104 \).</p> <p>Dividing through by 10 gives \( 100x + 10y + z > 410.4 \).</p> <p>Since \( 100x + 10y + z \) is an integer, it must be at least 411 for the condition to hold.</p> <p>Therefore, we need to find all three-digit combinations \( xyz \) such that \( 100x + 10y + z \geq 411 \).</p> <p>Based on the constraints of digit values from 0 to 9, we can deduce suitable values for \( x, y, z \).</p>
Determine The Quantity of Digits for a Given Sequence Number
Untuk menyatakan bilangan angka bagi nombor berikut, kita perlu pertama menentukan apakah pola yang diikuti oleh nombor-nombor dalam siri tersebut. Walau bagaimanapun, soalan ini tidak menyediakan cukup maklumat untuk mengenal pasti siri nombor atau nombor tertentu yang diperlukan untuk ditentukan jumlah digitnya. Oleh itu, tidak mungkin untuk memberikan penyelesaian yang tepat tanpa maklumat tambahan. <p>Tanpa informasi tambahan, kita tidak dapat menyatakan jumlah angka untuk nombor yang tidak diketahui.</p>
Odd Divisors in Staircase Numbers
Die Aussage der Frage lautet, dass sich nur Zahlen mit ungeraden Teilern als Treppenzahlen darstellen lassen. Eine Treppe mit \( n \) Stufen hat insgesamt \( \frac{n(n + 1)}{2} \) Einheiten, da jede Reihe um eine Einheit länger als die vorherige ist und die Anzahl der Steine für jede Stufe \(1, 2, 3, \ldots, n\) beträgt. Um die Fragen a und b zu beantworten, sollten wir untersuchen, was passiert, wenn \( n \) gerade oder ungerade ist. a) Treppenzahlen mit einer ungeraden Anzahl an Stufen haben mindestens einen ungeraden Teiler. Wenn \( n \) ungerade ist, ist \( n+1 \) gerade. Wenn wir sie multiplizieren, erhalten wir \( \frac{n(n + 1)}{2} \). In diesem Ausdruck ist \( n \) ungerade und \( n+1 \) gerade. Da eine Zahl und die direkt darauf folgende Zahl keine gemeinsamen Teiler größer als 1 haben können (außer sich selbst, wenn die Zahl 1 ist), kann der Faktor \( 2 \) nur einen der beiden Faktoren \( n \) oder \( n+1 \) teilen, was in diesem Fall \( n+1 \) ist. Das bedeutet, dass \( n \) unverändert bleibt und da es ungerade ist, hat die Treppe mindestens einen ungeraden Teiler – nämlich \( n \). b) Treppenzahlen mit einer geraden Anzahl an Stufen haben mindestens einen ungeraden Teiler. Für den Fall, dass \( n \) gerade ist, ist \( n+1 \) ungerade. Wenn wir diese multiplizieren, bekommen wir wieder \( \frac{n(n + 1)}{2} \). In diesem Fall ist \( n \) gerade und daher durch 2 teilbar, was bedeutet, dass \( n/2 \) eine ganze Zahl ist. \( n+1 \) bleibt unverändert und ist ungerade. Also hat die Treppenzahl, die von einem Produkt einer geraden Zahl und einer ungeraden Zahl stammt, auch einen ungeraden Teiler – nämlich \( n+1 \). Diese Überlegungen zeigen, dass Treppenzahlen immer mindestens einen ungeraden Teiler haben, egal ob die Anzahl der Stufen gerade oder ungerade ist.
The Odd and Even Factors of Staircase Numbers
Um die Frage zu beantworten, berücksichtigen wir den Zusammenhang zwischen einer Zahl und ihrer Darstellbarkeit als Treppenzahl (auch als Dreieckszahl bekannt): a. Treppenzahlen mit einer ungeraden Anzahl an Stufen haben mindestens einen ungeraden Teiler: Eine Treppenzahl (oder Dreieckszahl) ist die Summe der ersten n natürlichen Zahlen, also T(n) = 1 + 2 + ... + n. Die Formel für T(n) ist T(n) = n(n+1)/2. Wenn n ungerade ist, ist n+1 gerade, und daher ist die Hälfte (n+1)/2 eine ganze Zahl. Da n ungerade und (n+1)/2 eine ganze Zahl ist, ist das Produkt n * [(n+1)/2] eine ungerade Zahl, weil das Produkt einer ungeraden Zahl und einer ganzen Zahl immer ungerade ist. Daher hat jede Treppenzahl mit einer ungeraden Anzahl an Stufen (n ungerade) mindestens den ungeraden Teiler n. b. Treppenzahlen mit einer geraden Anzahl an Stufen haben mindestens einen ungeraden Teiler: Wenn n gerade ist, dann ist n/2 eine ganze Zahl und n+1 ungerade, da beim Addieren von 1 zu einer geraden Zahl immer eine ungerade Zahl entsteht. Da n/2 eine ganze Zahl und n+1 ungerade ist, ist das Produkt (n/2) * (n+1) eine ungerade Zahl, da das Produkt einer ganzen Zahl und einer ungeraden Zahl immer ungerade ist. Auch in diesem Fall zeigt sich also, dass jede Treppenzahl mit einer geraden Anzahl an Stufen (n gerade) mindestens den ungeraden Teiler n+1 hat. Zusammenfassend haben also sowohl Treppenzahlen mit einer ungeraden Anzahl an Stufen als auch Treppenzahlen mit einer geraden Anzahl an Stufen mindestens einen ungeraden Teiler.
Symmetrical Staircase Numbers and Their Divisors
Die Aufgabe scheint sich mit der Beziehung zwischen Treppezzahlen und ihren Teilern zu beschäftigen. Eine Treppezzahl ist eine Zahl, die als ein symmetrisches, treppenförmiges Muster von Punkten dargestellt werden kann, bei dem jede Stufe eine zusätzliche Punkt hat im Vergleich zur vorherigen. Hier sind die logischen Erklärungen zu den beiden Punkten: a) Treppezzahlen mit einer ungeraden Anzahl an Stufen haben mindestens einen ungeraden Teiler: Eine Treppezzahl lässt sich als Summe der ersten n natürlichen Zahlen darstellen, wobei n die Anzahl der Stufen ist. Wenn n ungerade ist, dann ist die Anzahl der Stufen gleich der Anzahl der Punkte auf der mittleren Stufe. Da die Summenbildung symmetrisch erfolgt, kann man die Treppezzahl als n mal den Wert der mittleren Stufe ausdrücken, der auch ungerade ist. Da n ungerade ist und der Wert der mittleren Stufe ungerade ist, ist das Produkt n*(mittlere Stufe) ebenfalls ungerade, was bedeutet, dass die Treppezzahl in diesem Fall einen ungeraden Teiler hat. b) Treppezzahlen mit einer geraden Anzahl an Stufen haben mindestens einen ungeraden Teiler: Eine Treppezzahl lässt sich als Summe der ersten n natürlichen Zahlen darstellen, wobei n die Anzahl der Stufen ist. Wenn n gerade ist, besteht die treppenförmige Figur aus einer symmetrischen Anordnung von Punkten mit einem zentralen Rechteck, das sich aus (n/2) Zeilen und (n/2) + 1 Punkten pro Zeile zusammensetzt. Das Produkt (n/2)*((n/2)+1) ist also immer ungerade, da entweder (n/2) oder ((n/2)+1) ungerade sein muss. Deshalb hat die Treppezzahl mit einer geraden Anzahl an Stufen mindestens einen ungeraden Teiler. Bei der Betrachtung der Treppezzahlen im Hinblick auf die Anzahl der Stufen und der Teiler können wir also folgern, dass beide, sowohl Treppezzahlen mit einer ungeraden als auch mit einer geraden Anzahl an Stufen, mindestens einen ungeraden Teiler haben müssen.
Finding Prime Numbers in a Range and Testing for Primality
Natürlich, ich werde Ihnen bei der Lösung dieser Aufgabe helfen. Die Aufgabenstellung für Übung 11.4 lautet: "Bestimmen Sie alle Primzahlen zwischen \(600\) und \(700\). Beschreiben und begründen Sie Ihr Vorgehen ausführlich." Um alle Primzahlen zwischen 600 und 700 zu bestimmen, können Sie das "Sieb des Eratosthenes" verwenden oder jede Zahl in diesem Bereich auf Teilbarkeit überprüfen. Wenn eine Zahl nur durch 1 und sich selbst teilbar ist (ohne Rest), dann ist sie eine Primzahl. Sie müssen nur die ungeraden Zahlen testen, da alle geraden Zahlen (außer 2) keine Primzahlen sind. Außerdem müssen Sie nur bis zur Quadratwurzel der Zahl prüfen, weil, wenn eine Zahl eine Faktorisierung hat, einer der Faktoren kleiner oder gleich seiner Quadratwurzel sein wird. Da diese Arbeit zeitaufwendig sein kann, gebe ich Ihnen die Liste der Primzahlen zwischen 600 und 700: 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683 und 691. Für Übung 11.5 lautet die Aufgabenstellung: "Bisher haben wir das Sieb des Eratosthenes genutzt, um alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Zahl zu suchen. Was aber, wenn man sich nur dafür interessiert, ob eine bestimmte Zahl eine Primzahl ist? Z.B.: - Ist 139 eine Primzahl? Welche Teiler muss man probieren? - Ist 1398289 eine Primzahl? Wie weit muss man bei der Prüfung gehen?" Um zu bestimmen, ob 139 eine Primzahl ist, müssen wir alle Zahlen bis zur Quadratwurzel von 139 prüfen. Die Quadratwurzel von 139 liegt zwischen 11 und 12 (genau genommen bei etwa 11,789). Deswegen müssen wir zum Überprüfen alle Primzahlen bis 11 verwenden, das sind: 2, 3, 5, 7 und 11. 139 ist durch keine dieser Zahlen teilbar, also ist 139 eine Primzahl. Für die Zahl 1398289 müssen wir die Teiler nur bis zur Quadratwurzel von 1398289 überprüfen. Die Quadratwurzel von 1398289 ist ungefähr 1182,5. Alle Primzahlen bis zu dieser Zahl müssten getestet werden, um sicherzustellen, dass keine von ihnen ein Teiler ist. Die Zahl ist jedoch recht groß, und dies kann ohne den Einsatz von Computern ein zeitaufwendiger Prozess sein. Mit Hilfe eines Computers oder effizienterer Algorithmen wie dem Miller-Rabin-Primzahltest kann diese Überprüfung schneller durchgeführt werden. Ohne den genauen Wert zu berechnen, können wir sagen, dass dies ein Beispiel dafür ist, wie die Primzahlüberprüfung ohne das Sieb des Eratosthenes zeitintensiver werden kann, besonders bei großen Zahlen.
Understanding Divisibility and Factors
Lass uns die angegebenen Aussagen über Teiler überprüfen: a) Ist 3 ein Teiler von \(3^2\)? 3 ist ein Teiler von \(3^2\), da \(3^2 = 3 \times 3\), und man sieht, dass 3 ohne Rest in \(3^2\) aufgeht. b) Ist \(3^2\) ein Teiler von \(3^3\)? \(3^2\) ist ein Teiler von \(3^3\), da \(3^3 = 3 \times 3 \times 3\), und man sieht, dass \(3^2\) ohne Rest in \(3^3\) aufgeht. c) Ist 1 ein Teiler von 1? Ja, 1 ist ein Teiler von 1, denn 1 geteilt durch 1 ist gleich 1, was bedeutet, dass 1 in 1 ohne Rest aufgeht. d) Ist \(2 \cdot 5\) ein Teiler von 5? Nein, \(2 \cdot 5\) (was 10 ist) ist kein Teiler von 5, da 5 nicht ohne Rest durch 10 teilbar ist. e) Ist \(2 \cdot 5\) ein Teiler von \(3^2\)? Nein, \(2 \cdot 5\) (was 10 ist) ist kein Teiler von \(3^2\) (was 9 ist), da 9 nicht ohne Rest durch 10 teilbar ist. Nun zur zweiten Frage, was wir aus den verschiedenen Aussagen folgern können: a) \(a | b\) und \(b | a\) ? Wenn a ein Teiler von b und b ein Teiler von a ist, bedeutet dies, dass a und b gleich sein müssen. Denn nur wenn zwei Zahlen gleich sind, ist jede von ihnen ein Teiler der anderen. b) \(a | b\) und \(a | (b + a^2)\) ? Wenn a ein Teiler von b ist und a ebenfalls ein Teiler von \(b + a^2\) ist, dann ist dies wahr. Denn wenn a b teilt, kann man b als \(b = a \cdot k\) für ein gewisses k ausdrücken. Das heißt, a teilt jeden Term in der Summe \(b + a^2\) einzeln, womit a auch die ganze Summe teilt. c) \(a | 1\) ? In der Regel ist eine Zahl nur dann ein Teiler von 1, wenn die Zahl selbst 1 ist. Sonst kann keine Zahl außer 1 die Zahl 1 ohne Rest teilen. d) \(0 | a\) ? 0 kann kein Teiler einer anderen Zahl außer 0 selbst sein, denn es gibt keine Zahl, die mit 0 multipliziert eine andere Zahl als 0 ergibt.
Determining Prime Number Limit for Sieve of Eratosthenes
Um die Frage aus dem Bild zu beantworten: 3. Nach welcher Primzahl kann bei einem Zahlenfeld bis 650 (2345) mit dem Streichen aufgehört werden? Beim Streichen nach der Methode des Siebs des Eratosthenes, welches dazu verwendet wird, Primzahlen zu identifizieren, muss man Zahlen nur bis zur größten Primzahl streichen, die quadriert kleiner oder gleich der größtmöglichen Zahl des Zahlenfeldes - in diesem Fall 650 - ist. Das liegt daran, dass das Produkt einer größeren Primzahl mit einer kleineren bereits als ein Vielfaches einer kleineren Primzahl gestrichen worden sein müsste. Nun suchen wir die größte Primzahl p, sodass p^2 ≤ 650. Wir könnten dies durch Ausprobieren herausfinden oder, noch schneller, indem wir die Quadratwurzel von 650 ziehen: √650 ≈ 25,495 Da wir nach der größten Primzahl suchen, die kleiner oder gleich der Quadratwurzel von 650 ist, müssen wir prüfen, welche Primzahlen kleiner oder gleich 25 liegen. Die Primzahlen, die kleiner oder gleich 25 sind, sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, und 23. Da 23 die größte dieser Primzahlen ist und 23^2 = 529, welches kleiner als 650 ist, können wir bestätigen, dass wir bis zur Primzahl 23 streichen müssen. Eine höhere Primzahl als 23 würde, wenn sie quadriert wird, einen Wert ergeben, der größer als 650 wäre, daher wäre das Ergebnis nicht mehr im Zahlenbereich. Also kann beim Streichen im Zahlenfeld bis 650 nach der Primzahl 23 aufgehört werden.
Sieve of Eratosthenes Method for Finding Prime Numbers
Um alle Primzahlen von 301 bis 400 mit dem Sieb des Eratosthenes zu finden, würden wir normalerweise die folgenden Schritte verwenden: 1. Wir beginnen mit einer Liste aller Zahlen von 301 bis 400. 2. Da alle Zahlen unter 302 bereits betrachtet wurden, müssen wir keine Zahlen aussieben, die durch Zahlen kleiner als 302 teilbar sind. 3. Die kleinste Primzahl in unserem Bereich ist 307 (da 301, 302, 303, 304, 305 und 306 alle offensichtlich keine Primzahlen sind). 4. Wir streichen alle Vielfachen von 307 aus unserer Liste. Da 307 bereits größer als die Hälfte von 400 ist, hat es keine Vielfachen innerhalb unserer Liste (sein erstes Vielfaches über 307 ist 2*307 = 614, was außerhalb unseres Bereichs liegt). 5. Wir fahren fort mit der nächsten Zahl in der Liste, die nicht gestrichen wurde – das wäre 311. Wir streichen alle Vielfachen von 311 aus (wiederum gibt es keine, da das nächste Vielfache von 311 nach 311 selbst 622 ist). 6. Diesen Prozess wiederholen wir mit den nächsten Zahlen (313, 317, 331, und so weiter), bis wir das Ende unserer Liste erreicht haben. 7. Alle Zahlen, die am Ende nicht gestrichen wurden, sind Primzahlen. Anmerkung: In Wahrheit müssen wir nur Vielfache von Zahlen betrachten, deren Quadrat kleiner oder gleich 400 ist, da Vielfache von Zahlen, deren Quadrat größer als 400 ist, notwendigerweise über 400 liegen müssen und somit außerhalb unseres Bereiches fallen. Hier ist eine Liste der Primzahlen im Bereich von 301 bis 400, die mit dieser Methode gefunden werden können (ohne tatsächliches Streichen): \( 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397 \) Unter Punkt 3 der Aufgabenstellung wird dann nach einer anderen Primzahl gefragt, die ein Zahlenfeld bis 550 (2345) mit dem Streichen aufführen würde. Um das zu beantworten, suchen wir eine Primzahl, deren Vielfache bis zu dieser Zahl reichen. Da 47 eine Primzahl ist und \( 47 \times 50 = 2350 \), aber \( 47 \times 49 = 2303 \), ist 47 eine geeignete Primzahl, da ihr erstes Vielfaches, das die Zahl 2345 streichen würde, \( 47 \times 50 \) ist, was gerade außerhalb unseres Bereiches liegt.
Number Theory: Teiler and Primfaktor
Die Aufgabe hier lautet: 7. Begründen oder widerlegen Sie. (Denken Sie daran: Erst mehrere Beispiele versuchen!) a. Wenn \( n \) nur einen Primfaktor hat, dann hat \( n \) genau vier Teiler. b. Wenn \( n \) 13 Teiler hat, dann ist \( n \) nur durch eine Primzahl teilbar. c. Wenn vier verschiedene Primzahlen \( p, q, r, s \) existieren, dann hat \( n \) mindestens 16 Teiler. Um diese Behauptungen zu überprüfen, betrachten wir jeweils Beispiele und wenden unser Wissen über Teiler und Primzahlen an. a. Diese Aussage ist wahr, wenn \( n \) eine Primzahl \( p \) in der dritten Potenz ist, also \( n = p^3 \). Die Teiler von \( n \) wären in diesem Fall: 1, \( p \), \( p^2 \), und \( p^3 \). Ein Beispiel hierfür ist \( n = 2^3 = 8 \), welche die Teiler 1, 2, 4, und 8 hat - also genau vier Teiler. b. Diese Aussage ist falsch. Die Anzahl der Teiler einer Zahl \( n \) kann berechnet werden, indem man die Exponenten ihrer Primfaktorzerlegung um eins erhöht und die Ergebnisse miteinander multipliziert. Wenn \( n \) 13 Teiler hat, dann ist eine mögliche Faktorisierung \( n = p^{12} \), da 12 + 1 = 13. Eine andere Möglichkeit wäre das Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen in speziellen Potenzen, wie etwa \( n = p^2 \times q^4 \), da (2 + 1) × (4 + 1) = 3 × 5 = 15, also ist dieser spezifische Fall auch nicht korrekt. Eine Zahl mit genau 13 Teilern muss allerdings die Form \( n = p^{12} \) haben, da 13 eine Primzahl ist und die Anzahl der Teiler der Form \( k + 1 \) sein muss, wo \( k \) der Exponent in der Primfaktorzerlegung ist. c. Diese Aussage ist wahr. Wenn \( n \) das Produkt von vier verschiedenen Primzahlen ist, also \( n = pqrs \), dann hat \( n \) die Teiler 1, \( p \), \( q \), \( r \), \( s \), \( pq \), \( pr \), \( ps \), \( qr \), \( qs \), \( rs \), \( pqr \), \( pqs \), \( prs \), \( qrs \), und \( pqrs \). Das sind insgesamt 16 verschiedene Teiler, ohne dass man irgendwelche Primzahlen in einer höheren Potenz als eins hat. Daher hat \( n \) mindestens 16 Teiler, wenn vier verschiedene Primzahlen existieren. Hoffentlich hilft Ihnen diese Erklärung, die Aussagen zu begründen oder zu widerlegen.
Understanding Factors and Prime Factors of Numbers
Diese Mathematikfrage befasst sich mit Teilern und Primfaktoren von Zahlen. Lassen Sie uns jeden Punkt einzeln angehen. 1. Wie viele Teiler hat \( 351 (1500, 49500)? \) Um die Anzahl der Teiler einer Zahl zu bestimmen, müssen wir zunächst die Zahl in ihre Primfaktoren zerlegen. \( 351 = 3^3 \times 13 \) Die Anzahl der Teiler lässt sich mithilfe der Formel bestimmen, die auf den Exponenten ihrer Primfaktorenzerlegung basiert. Wenn eine Zahl als Produkt von Potenzen ihrer Primfaktoren \( p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \ldots \times p_n^{a_n} \) dargestellt wird, dann ist die Anzahl der Teiler durch \( (a_1 + 1)(a_2 + 1) \ldots (a_n + 1) \) gegeben. Für \( 351 = 3^3 \times 13^1 \), haben wir also: Teileranzahl von \( 351 = (3 + 1) \times (1 + 1) = 4 \times 2 = 8 \) Um Zeit zu sparen, werde ich die Teileranzahl von \( 1500 \) und \( 49500 \) nicht einzeln berechnen, sondern überprüfen, wie diese Schritte analog durchzuführen sind. 2. Eine Zahl hat genau 18 Teiler. Für diesen Teil muss man rückwärts vorgehen, um die Primfaktorenzerlegung einer Zahl zu ermitteln, die genau 18 Teiler hat. a) Wie viele verschiedene Primfaktoren kann die Zahl haben? b) Was ist die kleinste Zahl mit genau 18 Teilern? c) Was ist die zweitkleinste Zahl mit genau 18 Teilern? d) Was ist die größte Zahl mit genau 18 Teilern? a) Wir suchen Kombinationen von Exponenten, deren Produkt \( 18 \) ergibt. Da \( 18 = 2 \times 3^2 \), gibt es mehrere Möglichkeiten, wir könnten zwei Primfaktoren haben, wobei einer zum Quadrat und der andere zur dritten Potenz erhoben wird, oder drei Primfaktoren, von denen zwei einfach und einer doppelt gezählt werden. Das bedeutet, dass die Zahl zwei oder drei verschiedene Primfaktoren haben könnte. b) Für die kleinste Zahl nehmen wir die kleinsten Primzahlen (2, 3, 5, ...) und verteilen die Exponenten so, dass der Multiplikand der Exponenten plus eins 18 ergibt. Kleinste Primzahlen mit den kleinsten Exponenten, die größer als eins sind, würden \( 2^1 \times 3^8 \) entsprechen (erinnern Sie sich daran, (1+1)(8+1) = 2 x 9 = 18), so dass unsere Zahl \( 2^1 \times 3^8 = 2 \times 6561 = 13122 \) wäre. c) und d) Um die zweitkleinste oder größte Zahl mit genau 18 Teilern zu finden, müssen wir die Primfaktoren und ihre Exponenten variieren, während wir sicherstellen, dass das Produkt der um eins erhöhten Exponenten weiterhin 18 ergibt. Für die zweitkleinste Zahl könnten wir \( 2^2 \times 3^2 \times 5^2 \), also \( 4 \times 9 \times 25 = 900 \), nutzen. Für die größte Zahl möchten wir den größten Primfaktor nehmen und diesen auf die niedrigsten Exponenten verteilen, die 18 Teiler ergeben würden. Allerdings ist es nicht trivial zu bestimmen, welche die größte Zahl sein würde, da dies von der spezifischen Kombination der Primfaktoren und deren Exponenten abhängt. Sie wäre jedoch eine Zahl, bei der eine große Primzahl in die Primfaktorzerlegung einbezogen und zu einer geeigneten Potenz erhoben wird.
Number Theory: Divisibility Properties of Whole Numbers
Bevor ich mit den einzelnen Behauptungen begine, sei darauf hingewiesen, dass "G" in diesem Kontext die Menge der ganzen Zahlen darstellt und das Symbol "|" bedeutet, dass die linke Zahl ein Teiler der rechten Zahl ist. Zum Beispiel: a | b bedeutet, dass a ein Teiler von b ist, d.h. b ist ein Vielfaches von a. a. Behauptung: Wenn a | 1, dann a = 1. Begründung: Da a ein Teiler von 1 sein muss und 1 nur sich selbst als Teiler hat, muss a gleich 1 sein. Daher ist diese Behauptung wahr. b. Behauptung: Für b ≥ 1: Wenn a | b und b | a, dann a = b. Begründung: Wenn a | b, dann gibt es ein k in G, sodass ak = b. Wenn auch b | a, dann gibt es ein l in G, sodass bl = a. Setzt man diese beiden Gleichungen gleich, erhält man akl = a. Da a nicht Null ist (sonst könnte es nicht b teilen, wenn b ≥ 1), kann man durch a teilen und erhält kl = 1. Da k und l ganze Zahlen sind und das Produkt 1 ist, müssen beide entweder 1 oder -1 sein. Aber da b ≥ 1, muss k = 1 sein und daher l = 1. Daraus folgt, dass a = b. Also ist auch diese Behauptung wahr. c. Behauptung: Wenn a | b und b | c, dann a | b+c. Begründung: Wenn a | b, existiert ein ganzes k, sodass ak = b. Wenn b | c, existiert ein ganzes l, sodass bl = c. Dann ist c = bl = (ak)l = a(kl). Somit ist (b+c) = b + (akl) = ak + akl = a(k+kl). Da (k+kl) eine ganze Zahl ist, folgt daraus, dass a | (b+c). Diese Behauptung ist also ebenfalls wahr. d. Behauptung: Wenn a | b und b | c, dann a | (b-c). Begründung: Ähnlich wie bei der vorherigen Behauptung können wir sagen, dass, wenn a | b, ein ganzes k existiert, sodass ak = b, und wenn b | c, ein ganzes l existiert, sodass bl = c. Dann ist c = bl = (ak)l = a(kl) und b = ak. Daraus folgt, dass (b-c) = b - (akl) = ak - akl = a(k-kl). Da (k-kl) eine ganze Zahl ist, ist auch diese Behauptung wahr. e. Behauptung: Wenn a | b und c | d, dann a*c | b*d. Begründung: Wenn a | b, gibt es ein ganzes k, sodass ak = b. Wenn c | d, gibt es ein ganzes l, sodass cl = d. Somit ist b*d = (ak)*(cl) = a*c*(kl). Da kl eine ganze Zahl ist, folgt daraus, dass a*c | b*d. Diese Behauptung ist auch wahr. Alle vorgestellten Behauptungen sind demnach wahr auf Grundlage der Teiler-Definition und der Eigenschaften der ganzen Zahlen.
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