Question - Number Theory: Divisibility Properties of Whole Numbers
Solution:
Bevor ich mit den einzelnen Behauptungen begine, sei darauf hingewiesen, dass "G" in diesem Kontext die Menge der ganzen Zahlen darstellt und das Symbol "|" bedeutet, dass die linke Zahl ein Teiler der rechten Zahl ist. Zum Beispiel: a | b bedeutet, dass a ein Teiler von b ist, d.h. b ist ein Vielfaches von a.a. Behauptung: Wenn a | 1, dann a = 1.Begründung: Da a ein Teiler von 1 sein muss und 1 nur sich selbst als Teiler hat, muss a gleich 1 sein. Daher ist diese Behauptung wahr.b. Behauptung: Für b ≥ 1: Wenn a | b und b | a, dann a = b.Begründung: Wenn a | b, dann gibt es ein k in G, sodass ak = b. Wenn auch b | a, dann gibt es ein l in G, sodass bl = a. Setzt man diese beiden Gleichungen gleich, erhält man akl = a. Da a nicht Null ist (sonst könnte es nicht b teilen, wenn b ≥ 1), kann man durch a teilen und erhält kl = 1. Da k und l ganze Zahlen sind und das Produkt 1 ist, müssen beide entweder 1 oder -1 sein. Aber da b ≥ 1, muss k = 1 sein und daher l = 1. Daraus folgt, dass a = b. Also ist auch diese Behauptung wahr.c. Behauptung: Wenn a | b und b | c, dann a | b+c.Begründung: Wenn a | b, existiert ein ganzes k, sodass ak = b. Wenn b | c, existiert ein ganzes l, sodass bl = c. Dann ist c = bl = (ak)l = a(kl). Somit ist (b+c) = b + (akl) = ak + akl = a(k+kl). Da (k+kl) eine ganze Zahl ist, folgt daraus, dass a | (b+c). Diese Behauptung ist also ebenfalls wahr.d. Behauptung: Wenn a | b und b | c, dann a | (b-c).Begründung: Ähnlich wie bei der vorherigen Behauptung können wir sagen, dass, wenn a | b, ein ganzes k existiert, sodass ak = b, und wenn b | c, ein ganzes l existiert, sodass bl = c. Dann ist c = bl = (ak)l = a(kl) und b = ak. Daraus folgt, dass (b-c) = b - (akl) = ak - akl = a(k-kl). Da (k-kl) eine ganze Zahl ist, ist auch diese Behauptung wahr.e. Behauptung: Wenn a | b und c | d, dann a*c | b*d.Begründung: Wenn a | b, gibt es ein ganzes k, sodass ak = b. Wenn c | d, gibt es ein ganzes l, sodass cl = d. Somit ist b*d = (ak)*(cl) = a*c*(kl). Da kl eine ganze Zahl ist, folgt daraus, dass a*c | b*d. Diese Behauptung ist auch wahr.Alle vorgestellten Behauptungen sind demnach wahr auf Grundlage der Teiler-Definition und der Eigenschaften der ganzen Zahlen.
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