Question - Odd Divisors in Staircase Numbers
Solution:
Die Aussage der Frage lautet, dass sich nur Zahlen mit ungeraden Teilern als Treppenzahlen darstellen lassen. Eine Treppe mit $$ n $$ Stufen hat insgesamt $$ \frac{n(n + 1)}{2} $$ Einheiten, da jede Reihe um eine Einheit länger als die vorherige ist und die Anzahl der Steine für jede Stufe $$1, 2, 3, \ldots, n$$ beträgt. Um die Fragen a und b zu beantworten, sollten wir untersuchen, was passiert, wenn $$ n $$ gerade oder ungerade ist.a) Treppenzahlen mit einer ungeraden Anzahl an Stufen haben mindestens einen ungeraden Teiler.Wenn $$ n $$ ungerade ist, ist $$ n+1 $$ gerade. Wenn wir sie multiplizieren, erhalten wir $$ \frac{n(n + 1)}{2} $$. In diesem Ausdruck ist $$ n $$ ungerade und $$ n+1 $$ gerade. Da eine Zahl und die direkt darauf folgende Zahl keine gemeinsamen Teiler größer als 1 haben können (außer sich selbst, wenn die Zahl 1 ist), kann der Faktor $$ 2 $$ nur einen der beiden Faktoren $$ n $$ oder $$ n+1 $$ teilen, was in diesem Fall $$ n+1 $$ ist. Das bedeutet, dass $$ n $$ unverändert bleibt und da es ungerade ist, hat die Treppe mindestens einen ungeraden Teiler – nämlich $$ n $$.b) Treppenzahlen mit einer geraden Anzahl an Stufen haben mindestens einen ungeraden Teiler.Für den Fall, dass $$ n $$ gerade ist, ist $$ n+1 $$ ungerade. Wenn wir diese multiplizieren, bekommen wir wieder $$ \frac{n(n + 1)}{2} $$. In diesem Fall ist $$ n $$ gerade und daher durch 2 teilbar, was bedeutet, dass $$ n/2 $$ eine ganze Zahl ist. $$ n+1 $$ bleibt unverändert und ist ungerade. Also hat die Treppenzahl, die von einem Produkt einer geraden Zahl und einer ungeraden Zahl stammt, auch einen ungeraden Teiler – nämlich $$ n+1 $$.Diese Überlegungen zeigen, dass Treppenzahlen immer mindestens einen ungeraden Teiler haben, egal ob die Anzahl der Stufen gerade oder ungerade ist.
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