Question - The Odd and Even Factors of Staircase Numbers
Solution:
Um die Frage zu beantworten, berücksichtigen wir den Zusammenhang zwischen einer Zahl und ihrer Darstellbarkeit als Treppenzahl (auch als Dreieckszahl bekannt):a. Treppenzahlen mit einer ungeraden Anzahl an Stufen haben mindestens einen ungeraden Teiler:Eine Treppenzahl (oder Dreieckszahl) ist die Summe der ersten n natürlichen Zahlen, also T(n) = 1 + 2 + ... + n. Die Formel für T(n) ist T(n) = n(n+1)/2. Wenn n ungerade ist, ist n+1 gerade, und daher ist die Hälfte (n+1)/2 eine ganze Zahl. Da n ungerade und (n+1)/2 eine ganze Zahl ist, ist das Produkt n * [(n+1)/2] eine ungerade Zahl, weil das Produkt einer ungeraden Zahl und einer ganzen Zahl immer ungerade ist. Daher hat jede Treppenzahl mit einer ungeraden Anzahl an Stufen (n ungerade) mindestens den ungeraden Teiler n.b. Treppenzahlen mit einer geraden Anzahl an Stufen haben mindestens einen ungeraden Teiler:Wenn n gerade ist, dann ist n/2 eine ganze Zahl und n+1 ungerade, da beim Addieren von 1 zu einer geraden Zahl immer eine ungerade Zahl entsteht. Da n/2 eine ganze Zahl und n+1 ungerade ist, ist das Produkt (n/2) * (n+1) eine ungerade Zahl, da das Produkt einer ganzen Zahl und einer ungeraden Zahl immer ungerade ist. Auch in diesem Fall zeigt sich also, dass jede Treppenzahl mit einer geraden Anzahl an Stufen (n gerade) mindestens den ungeraden Teiler n+1 hat.Zusammenfassend haben also sowohl Treppenzahlen mit einer ungeraden Anzahl an Stufen als auch Treppenzahlen mit einer geraden Anzahl an Stufen mindestens einen ungeraden Teiler.
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