Question - Sieve of Eratosthenes Method for Finding Prime Numbers
Solution:
Um alle Primzahlen von 301 bis 400 mit dem Sieb des Eratosthenes zu finden, würden wir normalerweise die folgenden Schritte verwenden:1. Wir beginnen mit einer Liste aller Zahlen von 301 bis 400.2. Da alle Zahlen unter 302 bereits betrachtet wurden, müssen wir keine Zahlen aussieben, die durch Zahlen kleiner als 302 teilbar sind.3. Die kleinste Primzahl in unserem Bereich ist 307 (da 301, 302, 303, 304, 305 und 306 alle offensichtlich keine Primzahlen sind). 4. Wir streichen alle Vielfachen von 307 aus unserer Liste. Da 307 bereits größer als die Hälfte von 400 ist, hat es keine Vielfachen innerhalb unserer Liste (sein erstes Vielfaches über 307 ist 2*307 = 614, was außerhalb unseres Bereichs liegt).5. Wir fahren fort mit der nächsten Zahl in der Liste, die nicht gestrichen wurde – das wäre 311. Wir streichen alle Vielfachen von 311 aus (wiederum gibt es keine, da das nächste Vielfache von 311 nach 311 selbst 622 ist).6. Diesen Prozess wiederholen wir mit den nächsten Zahlen (313, 317, 331, und so weiter), bis wir das Ende unserer Liste erreicht haben.7. Alle Zahlen, die am Ende nicht gestrichen wurden, sind Primzahlen.Anmerkung: In Wahrheit müssen wir nur Vielfache von Zahlen betrachten, deren Quadrat kleiner oder gleich 400 ist, da Vielfache von Zahlen, deren Quadrat größer als 400 ist, notwendigerweise über 400 liegen müssen und somit außerhalb unseres Bereiches fallen.Hier ist eine Liste der Primzahlen im Bereich von 301 bis 400, die mit dieser Methode gefunden werden können (ohne tatsächliches Streichen):$$ 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397 $$Unter Punkt 3 der Aufgabenstellung wird dann nach einer anderen Primzahl gefragt, die ein Zahlenfeld bis 550 (2345) mit dem Streichen aufführen würde. Um das zu beantworten, suchen wir eine Primzahl, deren Vielfache bis zu dieser Zahl reichen. Da 47 eine Primzahl ist und $$ 47 \times 50 = 2350 $$, aber $$ 47 \times 49 = 2303 $$, ist 47 eine geeignete Primzahl, da ihr erstes Vielfaches, das die Zahl 2345 streichen würde, $$ 47 \times 50 $$ ist, was gerade außerhalb unseres Bereiches liegt.
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