Question - Number Theory: Teiler and Primfaktor
Solution:
Die Aufgabe hier lautet:7. Begründen oder widerlegen Sie. (Denken Sie daran: Erst mehrere Beispiele versuchen!) a. Wenn $$ n $$ nur einen Primfaktor hat, dann hat $$ n $$ genau vier Teiler. b. Wenn $$ n $$ 13 Teiler hat, dann ist $$ n $$ nur durch eine Primzahl teilbar. c. Wenn vier verschiedene Primzahlen $$ p, q, r, s $$ existieren, dann hat $$ n $$ mindestens 16 Teiler.Um diese Behauptungen zu überprüfen, betrachten wir jeweils Beispiele und wenden unser Wissen über Teiler und Primzahlen an.a. Diese Aussage ist wahr, wenn $$ n $$ eine Primzahl $$ p $$ in der dritten Potenz ist, also $$ n = p^3 $$. Die Teiler von $$ n $$ wären in diesem Fall: 1, $$ p $$, $$ p^2 $$, und $$ p^3 $$. Ein Beispiel hierfür ist $$ n = 2^3 = 8 $$, welche die Teiler 1, 2, 4, und 8 hat - also genau vier Teiler.b. Diese Aussage ist falsch. Die Anzahl der Teiler einer Zahl $$ n $$ kann berechnet werden, indem man die Exponenten ihrer Primfaktorzerlegung um eins erhöht und die Ergebnisse miteinander multipliziert. Wenn $$ n $$ 13 Teiler hat, dann ist eine mögliche Faktorisierung $$ n = p^{12} $$, da 12 + 1 = 13. Eine andere Möglichkeit wäre das Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen in speziellen Potenzen, wie etwa $$ n = p^2 \times q^4 $$, da (2 + 1) × (4 + 1) = 3 × 5 = 15, also ist dieser spezifische Fall auch nicht korrekt. Eine Zahl mit genau 13 Teilern muss allerdings die Form $$ n = p^{12} $$ haben, da 13 eine Primzahl ist und die Anzahl der Teiler der Form $$ k + 1 $$ sein muss, wo $$ k $$ der Exponent in der Primfaktorzerlegung ist.c. Diese Aussage ist wahr. Wenn $$ n $$ das Produkt von vier verschiedenen Primzahlen ist, also $$ n = pqrs $$, dann hat $$ n $$ die Teiler 1, $$ p $$, $$ q $$, $$ r $$, $$ s $$, $$ pq $$, $$ pr $$, $$ ps $$, $$ qr $$, $$ qs $$, $$ rs $$, $$ pqr $$, $$ pqs $$, $$ prs $$, $$ qrs $$, und $$ pqrs $$. Das sind insgesamt 16 verschiedene Teiler, ohne dass man irgendwelche Primzahlen in einer höheren Potenz als eins hat. Daher hat $$ n $$ mindestens 16 Teiler, wenn vier verschiedene Primzahlen existieren.Hoffentlich hilft Ihnen diese Erklärung, die Aussagen zu begründen oder zu widerlegen.
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