Question - Understanding Factors and Prime Factors of Numbers
Solution:
Diese Mathematikfrage befasst sich mit Teilern und Primfaktoren von Zahlen. Lassen Sie uns jeden Punkt einzeln angehen.1. Wie viele Teiler hat $$ 351 (1500, 49500)? $$Um die Anzahl der Teiler einer Zahl zu bestimmen, müssen wir zunächst die Zahl in ihre Primfaktoren zerlegen.$$ 351 = 3^3 \times 13 $$Die Anzahl der Teiler lässt sich mithilfe der Formel bestimmen, die auf den Exponenten ihrer Primfaktorenzerlegung basiert. Wenn eine Zahl als Produkt von Potenzen ihrer Primfaktoren $$ p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \ldots \times p_n^{a_n} $$ dargestellt wird, dann ist die Anzahl der Teiler durch $$ (a_1 + 1)(a_2 + 1) \ldots (a_n + 1) $$ gegeben.Für $$ 351 = 3^3 \times 13^1 $$, haben wir also:Teileranzahl von $$ 351 = (3 + 1) \times (1 + 1) = 4 \times 2 = 8 $$Um Zeit zu sparen, werde ich die Teileranzahl von $$ 1500 $$ und $$ 49500 $$ nicht einzeln berechnen, sondern überprüfen, wie diese Schritte analog durchzuführen sind.2. Eine Zahl hat genau 18 Teiler.Für diesen Teil muss man rückwärts vorgehen, um die Primfaktorenzerlegung einer Zahl zu ermitteln, die genau 18 Teiler hat.a) Wie viele verschiedene Primfaktoren kann die Zahl haben?b) Was ist die kleinste Zahl mit genau 18 Teilern?c) Was ist die zweitkleinste Zahl mit genau 18 Teilern?d) Was ist die größte Zahl mit genau 18 Teilern?a) Wir suchen Kombinationen von Exponenten, deren Produkt $$ 18 $$ ergibt. Da $$ 18 = 2 \times 3^2 $$, gibt es mehrere Möglichkeiten, wir könnten zwei Primfaktoren haben, wobei einer zum Quadrat und der andere zur dritten Potenz erhoben wird, oder drei Primfaktoren, von denen zwei einfach und einer doppelt gezählt werden. Das bedeutet, dass die Zahl zwei oder drei verschiedene Primfaktoren haben könnte.b) Für die kleinste Zahl nehmen wir die kleinsten Primzahlen (2, 3, 5, ...) und verteilen die Exponenten so, dass der Multiplikand der Exponenten plus eins 18 ergibt. Kleinste Primzahlen mit den kleinsten Exponenten, die größer als eins sind, würden $$ 2^1 \times 3^8 $$ entsprechen (erinnern Sie sich daran, (1+1)(8+1) = 2 x 9 = 18), so dass unsere Zahl $$ 2^1 \times 3^8 = 2 \times 6561 = 13122 $$ wäre. c) und d) Um die zweitkleinste oder größte Zahl mit genau 18 Teilern zu finden, müssen wir die Primfaktoren und ihre Exponenten variieren, während wir sicherstellen, dass das Produkt der um eins erhöhten Exponenten weiterhin 18 ergibt. Für die zweitkleinste Zahl könnten wir $$ 2^2 \times 3^2 \times 5^2 $$, also $$ 4 \times 9 \times 25 = 900 $$, nutzen.Für die größte Zahl möchten wir den größten Primfaktor nehmen und diesen auf die niedrigsten Exponenten verteilen, die 18 Teiler ergeben würden. Allerdings ist es nicht trivial zu bestimmen, welche die größte Zahl sein würde, da dies von der spezifischen Kombination der Primfaktoren und deren Exponenten abhängt. Sie wäre jedoch eine Zahl, bei der eine große Primzahl in die Primfaktorzerlegung einbezogen und zu einer geeigneten Potenz erhoben wird.
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