Question - Finding Prime Numbers in a Range and Testing for Primality
Solution:
Natürlich, ich werde Ihnen bei der Lösung dieser Aufgabe helfen.Die Aufgabenstellung für Übung 11.4 lautet:"Bestimmen Sie alle Primzahlen zwischen $$600$$ und $$700$$. Beschreiben und begründen Sie Ihr Vorgehen ausführlich."Um alle Primzahlen zwischen 600 und 700 zu bestimmen, können Sie das "Sieb des Eratosthenes" verwenden oder jede Zahl in diesem Bereich auf Teilbarkeit überprüfen. Wenn eine Zahl nur durch 1 und sich selbst teilbar ist (ohne Rest), dann ist sie eine Primzahl. Sie müssen nur die ungeraden Zahlen testen, da alle geraden Zahlen (außer 2) keine Primzahlen sind. Außerdem müssen Sie nur bis zur Quadratwurzel der Zahl prüfen, weil, wenn eine Zahl eine Faktorisierung hat, einer der Faktoren kleiner oder gleich seiner Quadratwurzel sein wird.Da diese Arbeit zeitaufwendig sein kann, gebe ich Ihnen die Liste der Primzahlen zwischen 600 und 700: 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683 und 691.Für Übung 11.5 lautet die Aufgabenstellung:"Bisher haben wir das Sieb des Eratosthenes genutzt, um alle Primzahlen bis zu einer bestimmten Zahl zu suchen. Was aber, wenn man sich nur dafür interessiert, ob eine bestimmte Zahl eine Primzahl ist? Z.B.:- Ist 139 eine Primzahl? Welche Teiler muss man probieren?- Ist 1398289 eine Primzahl? Wie weit muss man bei der Prüfung gehen?"Um zu bestimmen, ob 139 eine Primzahl ist, müssen wir alle Zahlen bis zur Quadratwurzel von 139 prüfen. Die Quadratwurzel von 139 liegt zwischen 11 und 12 (genau genommen bei etwa 11,789). Deswegen müssen wir zum Überprüfen alle Primzahlen bis 11 verwenden, das sind: 2, 3, 5, 7 und 11. 139 ist durch keine dieser Zahlen teilbar, also ist 139 eine Primzahl.Für die Zahl 1398289 müssen wir die Teiler nur bis zur Quadratwurzel von 1398289 überprüfen. Die Quadratwurzel von 1398289 ist ungefähr 1182,5. Alle Primzahlen bis zu dieser Zahl müssten getestet werden, um sicherzustellen, dass keine von ihnen ein Teiler ist. Die Zahl ist jedoch recht groß, und dies kann ohne den Einsatz von Computern ein zeitaufwendiger Prozess sein. Mit Hilfe eines Computers oder effizienterer Algorithmen wie dem Miller-Rabin-Primzahltest kann diese Überprüfung schneller durchgeführt werden. Ohne den genauen Wert zu berechnen, können wir sagen, dass dies ein Beispiel dafür ist, wie die Primzahlüberprüfung ohne das Sieb des Eratosthenes zeitintensiver werden kann, besonders bei großen Zahlen.
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