Example Question - substitution method
Here are examples of questions we've helped users solve.
Integral of a Rational Function with a Substitution
Para resolver la integral que has proporcionado, debemos enfocarnos en el integrando: \[\int \frac{3x^2 - 2}{x^3 + x^2 - 2x} dx\] Primero, se debe factorizar el denominador para poder descomponer la fracción en fracciones parciales si es necesario. El denominador factoriza como: \[x^3 + x^2 - 2x = x(x^2 + x - 2) = x(x+2)(x-1)\] Ahora podemos intentar descomponer la fracción original en fracciones parciales. Sin embargo, en este caso se puede observar que el numerador es la derivada del denominador, lo cual sugiere que una sustitución directa podría ser útil. Si dejamos que \( u = x^3 + x^2 - 2x \), entonces \( du = (3x^2 + 2x - 2)dx \), que es casi el numerador que tenemos. Hay un \(2x\) de más que podemos arreglar sustrayendo y sumando \(2x\) dentro del integrando: \[\int \frac{3x^2 - 2 + 2x - 2x}{x(x+2)(x-1)} dx = \int \frac{(3x^2 + 2x - 2) - 2x}{x(x+2)(x-1)} dx\] Esto nos da dos integrales separadas para resolver: \[= \int \frac{3x^2 + 2x - 2}{x(x+2)(x-1)} dx - \int \frac{2x}{x(x+2)(x-1)} dx \] La primera integral ahora es directa con la sustitución \(u = x^3 + x^2 - 2x\), resultando en: \[= \int \frac{1}{u} du - \int \frac{2x}{x(x+2)(x-1)} dx \] La primera integral se resuelve como el logaritmo natural: \[= \ln|u| - \int \frac{2x}{x(x+2)(x-1)} dx \] La segunda integral todavía necesita ser descompuesta en fracciones parciales, pero antes simplificamos cancelando el término x: \[= \ln|x^3 + x^2 - 2x| - \int \frac{2}{(x+2)(x-1)} dx \] Ahora se descompone la fracción \(\frac{2}{(x+2)(x-1)}\) en fracciones parciales. Para eso, proponemos que: \[\frac{2}{(x+2)(x-1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1}\] Multiplicando ambos lados por el denominador común, \( (x+2)(x-1) \), y luego igualando los coeficientes, encontramos los valores de A y B. Después de eso, podemos integrar término por término. No proseguiré con esos cálculos aquí para mantener la explicación más breve. Al final, la solución a la integral original será una combinación del logaritmo natural de \(u\) y las integrales de las fracciones parciales que en este caso serán también logaritmos naturales.
Solving System of Linear Equations by Elimination and Substitution
Vamos a resolver el sistema de ecuaciones lineales dado por eliminación o sustitución. El sistema está dado por: \( x_1 + 4x_2 - 2x_3 + 8x_4 = 12 \) \( x_2 - 7x_3 + 2x_4 = -4 \) \( 5x_3 - x_4 = 7 \) \( x_3 + 3x_4 = -5 \) Primero, podemos resolver las últimas dos ecuaciones para encontrar \(x_3\) y \(x_4\) dado que son más simples y solo contienen dos incógnitas. Empecemos con la tercera y la cuarta ecuación: \( 5x_3 - x_4 = 7 \) \( x_3 + 3x_4 = -5 \) Multiplicamos la cuarta ecuación por 5 y la sumamos con la tercera para eliminar \(x_3\): \( 5(x_3 + 3x_4) = 5(-5) \) \( 5x_3 + 15x_4 = -25 \) Ahora sumamos esto a la tercera ecuación: \( 5x_3 + 15x_4 + 5x_3 - x_4 = 7 - 25 \) \( 10x_3 + 14x_4 = -18 \) Dividimos todo entre 2 para simplificar: \( 5x_3 + 7x_4 = -9 \) Ahora tenemos un sistema simplificado con las ecuaciones: \( 5x_3 - x_4 = 7 \) \( 5x_3 + 7x_4 = -9 \) Restamos la primera ecuación de la segunda para eliminar \(x_3\): \( (5x_3 + 7x_4) - (5x_3 - x_4) = -9 - 7 \) \( 8x_4 = -16 \) Dividimos ambos lados entre 8: \( x_4 = -2 \) Ahora, podemos sustituir \(x_4\) en la ecuación \( 5x_3 - x_4 = 7 \) para encontrar \(x_3\): \( 5x_3 - (-2) = 7 \) \( 5x_3 + 2 = 7 \) \( 5x_3 = 5 \) Dividimos ambos lados entre 5: \( x_3 = 1 \) Con \(x_3 = 1\) y \(x_4 = -2\), podemos ahora sustituir estos valores en las primeras dos ecuaciones del sistema original para obtener \(x_1\) y \(x_2\). Tomemos la primera ecuación: \( x_1 + 4x_2 - 2(1) + 8(-2) = 12 \) \( x_1 + 4x_2 - 2 - 16 = 12 \) \( x_1 + 4x_2 = 30 \) La segunda ecuación: \( x_2 - 7(1) + 2(-2) = -4 \) \( x_2 - 7 - 4 = -4 \) \( x_2 = -4 + 11 \) \( x_2 = 7 \) Finalmente, sustituimos \(x_2 = 7\) en la ecuación para encontrar \(x_1\): \( x_1 + 4(7) = 30 \) \( x_1 + 28 = 30 \) \( x_1 = 30 - 28 \) \( x_1 = 2 \) Por lo tanto, la solución del sistema es: \( x_1 = 2 \) \( x_2 = 7 \) \( x_3 = 1 \) \( x_4 = -2 \)
Solving a System of Linear Equations using Elimination Method
Para resolver este sistema de ecuaciones lineales, podemos usar el método de eliminación o sustitución. Vamos a utilizar el método de eliminación para encontrar la solución: Las ecuaciones son: 1) 6x + 2y = 4 2) 2x + y = 2 Primero, vamos a intentar eliminar una de las variables. Podemos notar que si multiplicamos la segunda ecuación por 2, las 'y' se alinearán, y podremos eliminar esa variable. Vamos a hacer eso: 2*(2x + y) = 2*2 4x + 2y = 4 Ahora tenemos un nuevo sistema de ecuaciones: 1) 6x + 2y = 4 3) 4x + 2y = 4 Ahora, si restamos la ecuación (3) de la ecuación (1), eliminamos la 'y': (6x + 2y) - (4x + 2y) = 4 - 4 6x - 4x = 0 Entonces, obtenemos: 2x = 0 x = 0 Ahora que conocemos el valor de 'x', podemos sustituirlo en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar 'y'. Usamos la ecuación (2) para este propósito: 2x + y = 2 2(0) + y = 2 y = 2 Por lo tanto, la solución al sistema de ecuaciones es: x = 0 y = 2
Solving a System of Linear Equations using Elimination and Substitution
Claro, resolveremos el sistema de ecuaciones lineales dado por los métodos de eliminación o sustitución. Tenemos tres ecuaciones: 1. \(x + y = 0\) 2. \(x + 7y - 3z = -3\) 3. \(2x + 3y - 4z = -3\) Primero, resolveremos la primera ecuación para una de las variables y sustituiremos ese valor en las otras dos ecuaciones. De la primera ecuación tenemos que: \(y = -x\) Ahora sustituiremos \(y\) por \(-x\) en las otras dos ecuaciones: En la segunda ecuación: \(x + 7(-x) - 3z = -3\) \(x - 7x - 3z = -3\) \(-6x - 3z = -3\) ... (4) En la tercera ecuación: \(2x + 3(-x) - 4z = -3\) \(2x - 3x - 4z = -3\) \(-x - 4z = -3\) ... (5) Ahora, podemos resolver el sistema de dos ecuaciones (4) y (5) con dos incógnitas (\(x\) y \(z\)). Primero, multiplicaremos la ecuación (5) por 6 para poder eliminar \(x\) sumando las ecuaciones: \(-6x - 24z = -18\) ... (6) Sumamos la ecuación (4) y la ecuación (6): \(-6x - 3z - 6x - 24z = -3 - 18\) \(-12x - 27z = -21\) Dividamos toda la ecuación por -3 para simplificar: \(4x + 9z = 7\) ... (7) Ahora, necesitamos resolver para una de las variables. Resolvamos para \(z\) partiendo de la ecuación (7): \(9z = 7 - 4x\) \(z = \frac{7}{9} - \frac{4}{9}x\) Sustituimos \(z\) de nuevo en la ecuación (5): \(-x - 4(\frac{7}{9} - \frac{4}{9}x) = -3\) \(-x - \frac{28}{9} + \frac{16}{9}x = -3\) \(\frac{15}{9}x - \frac{28}{9} = -3\) Multiplicamos por 9 para eliminar los denominadores: \(15x - 28 = -27\) Ahora sumamos 28 a ambos lados: \(15x = 1\) Dividimos entre 15: \(x = \frac{1}{15}\) Ahora sustituimos \(x\) de nuevo en la ecuación para \(y\) y \(z\): \(y = -\frac{1}{15}\) \(z = \frac{7}{9} - \frac{4}{9}(\frac{1}{15})\) \(z = \frac{7}{9} - \frac{4}{135}\) \(z = \frac{105}{135} - \frac{4}{135}\) \(z = \frac{101}{135}\) \(z = \frac{101}{135}\) Finalmente, simplificamos \(z\) si es posible: \(z = \frac{101}{135}\) (No se simplifica más porque 101 es un número primo y no divide a 135) Así que las soluciones al sistema dado son: \(x = \frac{1}{15}\) \(y = -\frac{1}{15}\) \(z = \frac{101}{135}\) Es importante recordar que siempre debemos de verificar estas soluciones sustituyéndolas en las ecuaciones originales para asegurarnos de que realmente son correctas.
Solving a System of Three Equations with Three Unknowns
Claro, tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que vamos a resolver paso a paso. El sistema es: 1. \( x - 2y - 2z = 4 \) 2. \( 2x + 3y - z = 5 \) 3. \( 4x + y - z = 9 \) Podemos usar el método de eliminación o el método de sustitución. Para este ejemplo, usaré el método de eliminación. Empecemos por eliminar una de las incógnitas, por ejemplo, la \(z\). Multiplicamos la primera ecuación por -1 para poder eliminar la variable \(z\) sumándola con la segunda y la tercera ecuación. La primera ecuación se convierte en: \( -x + 2y + 2z = -4 \) Ahora la sumamos con la segunda ecuación: \( -x + 2y + 2z + 2x + 3y - z = -4 + 5 \) \( x + 5y + z = 1 \) ... (4) Y también la sumamos con la tercera ecuación: \( -x + 2y + 2z + 4x + y - z = -4 + 9 \) \( 3x + 3y + z = 5 \) ... (5) Ahora tenemos un nuevo sistema con dos ecuaciones (4 y 5) y dos incógnitas (x y y). Vamos a eliminar \(z\) sumando las ecuaciones 4 y 5 con la segunda ecuación original por separado: \( x + 5y + z + 4x + y - z = 1 + 9 \) \( 5x + 6y = 10 \) ... (6) Dividimos la ecuación (6) entre 5: \( x + \frac{6}{5}y = 2 \) ... (7) Ahora utilizamos las ecuaciones (4) y (5) para eliminar \(z\): \( x + 5y + z + 3x + 3y + z = 1 + 5 \) \( 4x + 8y + 2z = 6 \) ... (8) Dividimos la ecuación (8) entre 2: \( 2x + 4y + z = 3 \) ... (9) Ahora tenemos dos ecuaciones (7 y 9) con dos incógnitas (x y y): \( x + \frac{6}{5}y = 2 \) ... (7) \( 2x + 4y + z = 3 \) ... (9) Podemos resolver el sistema (7) y (9) para encontrar \(x\) y \(y\). Multiplicamos la ecuación (7) por 2 para igualar el coeficiente de \(x\): \( 2x + \frac{12}{5}y = 4 \) ... (10) Restamos la ecuación (10) de la ecuación (9): \( (2x + 4y + z) - (2x + \frac{12}{5}y) = 3 - 4 \) Como resultado, tenemos una nueva ecuación con solo la variable \(y\): \( 4y - \frac{12}{5}y + z = -1 \) Para simplificar los términos de \(y\), encontramos un denominador común que es 5: \( \frac{20}{5}y - \frac{12}{5}y + z = -1 \) \( \frac{8}{5}y + z = -1 \) ... (11) Ahora expresamos \(z\) en función de \(y\) de la ecuación (11): \( z = -1 - \frac{8}{5}y \) ... (12) Volvemos a la ecuación (7) para despejar \(x\), sabiendo que \(y\) aún no está determinado: \( x = 2 - \frac{6}{5}y \) ... (13) Ahora tenemos \(x\) y \(z\) expresados en función de \(y\) (ecuaciones 12 y 13). Para encontrar el valor de \(y\), podemos sustituir el valor de \(z\) (de la ecuación 12) en cualquiera de las ecuaciones originales que contenían todas las variables. Usemos la ecuación (2) para esto: \( 2x + 3y - z = 5 \) Sustituimos \(x\) (de la ecuación 13) y \(z\) (de la ecuación 12): \( 2(2 - \frac{6}{5}y) + 3y - (-1 - \frac{8}{5}y) = 5 \) Simplificamos: \( 4 - \frac{12}{5}y + 3y + 1 + \frac{8}{5}y = 5 \) Combinamos términos semejantes: \( 5 - \frac{12}{5}y + \frac{15}{5}y + \frac{8}{5}y = 5 \) \( 5 + \frac{11}{5}y = 5 \) Ahora restamos 5 de ambos lados de la ecuación: \( \frac{11}{5}y = 0 \) Dado que todo número multiplicado por 0 da 0, obtenemos que \(y = 0\). Ahora que sabemos el valor de \(y\), podemos sustituirlo en las ecuaciones (12) y (13) para encontrar \(z\) y \(x\), respectivamente. De la ecuación (13): \( x = 2 - \frac{6}{5}(0) \) \( x = 2 \) De la ecuación (12): \( z = -1 - \frac{8}{5}(0) \) \( z = -1 \) El conjunto de soluciones al sistema de ecuaciones es \(x = 2\), \(y = 0\), \(z = -1\).
Solving for a Variable in a Linear Equation
To find the value of \( y \), we can use the given value of \( x \) in one of the original equations. In this case, since \( x = -1/2 \), we can substitute this value for \( x \) in either of the two equations. Let's use the first equation for this purpose: \[ -2x + 4y = 15 \] Substitute \( x = -1/2 \) into this equation: \[ -2(-1/2) + 4y = 15 \] Now simplify: \[ 1 + 4y = 15 \] Then solve for \( y \) by subtracting 1 from both sides: \[ 4y = 14 \] Finally, divide both sides by 4 to solve for \( y \): \[ y = \frac{14}{4} \] \[ y = \frac{7}{2} \] \[ y = 3.5 \] So, the value of \( y \) is 3.5.
Solving System of Equations by Division Method
В задаче дана система уравнений: 6x + 10y = 36, 3x + 5y = 18. Чтобы решить эту систему уравнений, можно использовать метод подстановки, сложения или сравнение, однако в данном случае удобно использовать метод деления одного уравнения на другое, поскольку второе уравнение можно получить, умножив первое на 1/2. Давайте посмотрим на второе уравнение. Оно является упрощенной версией первого, где каждый член первого уравнения был уменьшен вдвое. Это означает, что любое решение первого уравнения также будет решением второго уравнения. Поскольку оба уравнения представляют одну и ту же линию, система имеет бесконечное множество решений. Другими словами, каждая пара значений (x, y), удовлетворяющая первому уравнению, автоматически удовлетворит и второе. Найдем одно из решений этой системы, упростив первое уравнение: 6x + 10y = 36 Переносим 10y в правую сторону: 6x = 36 - 10y Теперь делим обе стороны на 6: x = (36 - 10y) / 6 x = 6 - (10/6)y x = 6 - (5/3)y Это уравнение показывает отношение между x и y. Мы можем выбрать любое значение для y и подставить его в уравнение, чтобы получить соответствующее значение x, которое будет решением системы. Например, если y = 0, тогда x = 6. Если y = 3, тогда x = 6 - (5/3) * 3 = 6 - 5 = 1. Таким образом, пары (6,0) и (1,3) являются решениями этой системы уравнений.
Solving a System of Linear Equations using Elimination Method
Baik, dari gambar yang diberikan, tampaknya kita memiliki sistem persamaan linear dengan dua variabel, yaitu: 1) y = 3 + 2x 2) y = 2 - 0.5x Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini, kita bisa menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Karena kedua persamaan sudah terpecahkan untuk y, metode eliminasi tampaknya paling mudah. Langkah pertama adalah menyamakan nilai y dalam kedua persamaan: 3 + 2x = 2 - 0.5x Selanjutnya, kita akan menyelesaikan persamaan ini untuk x: 2x + 0.5x = 2 - 3 2.5x = -1 x = -1 / 2.5 x = -0.4 Setelah kita mendapatkan nilai x, kita bisa mengganti x ke salah satu persamaan asli untuk mendapatkan nilai y. Mari kita gunakan persamaan pertama: y = 3 + 2(-0.4) y = 3 - 0.8 y = 2.2 Jadi, solusi untuk sistem persamaan tersebut adalah x = -0.4 dan y = 2.2.
Solving a System of Linear Equations using Substitution Method
To solve the question provided in the image, we'll follow the steps shown: 1. We substitute the value of \( y \) into the second equation \( 2x = 9 \), with the given \( y = 5 - \frac{x}{2} \). 2. Now, we substitute \( y \) in the equation: \[ 2x = 9 \] \( 2x = (5 - \frac{x}{2}) \) 3. Next, we distribute the negative sign across the equation: \[ 2x = 5 - \frac{x}{2} \] 4. To combine like terms, we need to have all the \( x \) terms on one side with the same denominator. To do this, first, we can multiply every term by \( 2 \) to eliminate the fraction: \[ 2(2x) = 2(5) - 2(\frac{x}{2}) \] \[ 4x = 10 - x \] 5. Add \( x \) to both sides to combine like terms: \[ 4x + x = 10 \] \[ 5x = 10 \] 6. Finally, divide both sides by \( 5 \) to solve for \( x \): \[ \frac{5x}{5} = \frac{10}{5} \] \[ x = 2 \] Now that we have the value of \( x \), we can substitute it back into the original equation \( y = 5 - \frac{x}{2} \) to find the value of \( y \): \[ y = 5 - \frac{2}{2} \] \[ y = 5 - 1 \] \[ y = 4 \] So the solution to the system of equations is \( x = 2 \) and \( y = 4 \).
Solving System of Equations using Substitution Method
Hệ phương trình trong hình được cho là: { 3x - 2y = 4 2x + y = 5 Để giải hệ phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Ở đây, tôi sẽ sử dụng phương pháp thế để giải hệ phương trình. Bước 1: Từ phương trình thứ hai (2x + y = 5), ta có thể biểu diễn y qua x: y = 5 - 2x Bước 2: Thế giá trị của y tìm được từ Bước 1 vào phương trình đầu tiên: 3x - 2(5 - 2x) = 4 Bước 3: Giải phương trình để tìm x: 3x - 10 + 4x = 4 7x - 10 = 4 7x = 14 x = 2 Bước 4: Sau khi có giá trị của x, ta thế x vào biểu thức của y đã tìm được ở Bước 1: y = 5 - 2(2) y = 5 - 4 y = 1 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = 2 và y = 1.
Solving a System of Equations using Substitution or Elimination
Pour résoudre le système d'équations donné dans l'image, nous allons utiliser la méthode de substitution ou la méthode d'élimination. Le système est comme suit : \[ \begin{cases} 3x - 5y = e^y \\ 1 + xy = e^y \end{cases} \] D'abord, nous pouvons exprimer \( e^y \) de la première équation et le substituer dans la deuxième : \( 3x - 5y = e^y \) (équation 1) Nous isolons \( e^y \) : \( e^y = 3x - 5y \) Maintenant, nous substituons \( e^y \) dans la deuxième équation : \( 1 + xy = e^y \) (équation 2) Substitution : \( 1 + xy = 3x - 5y \) À ce stade, il s'agit de trouver des valeurs de x et y qui satisfont cette dernière équation. Cette équation est non-linéaire et peut être compliquée à résoudre exactement. En général, il faudrait probablement recourir à des méthodes numériques pour trouver une solution approximative. Cependant, si nous cherchons des solutions entières ou des valeurs particulières de x et y qui peuvent simplifier l'équation, nous pourrions manipuler l'équation davantage ou essayer des substituions spécifiques. Mais sans information supplémentaire ou une direction spécifique, trouver une forme exacte des solutions est difficile. Si l'équation est donnée dans le cadre d'un problème avec des contraintes supplémentaires, ou si elle est extraite d'un contexte spécifique qui impose certaines valeurs pour x ou y, la solution peut être facilitée. Autrement, une solution générale nécessite des méthodes approfondies comme l'itération ou l'utilisation de logiciels mathématiques adaptés.
Solving a System of Linear Equations with Two Unknowns
D'accord, nous allons résoudre le système d'équations linéaires simultanées donné dans l'image. Le système est composé de deux équations : 1) \( x + 3y - z = 2 \) 2) \( 4x - 5y + 3z = 4 \) Pour résoudre ce système, nous pouvons utiliser la méthode de substitution ou la méthode d'élimination. Comme l'image ne montre que deux équations pour trois inconnues (x, y, z), nous ne pouvons pas trouver une solution unique pour chaque variable sans une troisième équation. Toutefois, nous pouvons exprimer une des inconnues en termes des deux autres. Si on veut exprimer z en fonction de x et de y à partir de la première équation, on peut réarranger pour obtenir : \( z = x + 3y - 2 \) Ensuite, nous pouvons substituer cette expression de z dans la deuxième équation : \( 4x - 5y + 3(x + 3y - 2) = 4 \) Développons et simplifions cette équation: \( 4x - 5y + 3x + 9y - 6 = 4 \) \( 7x + 4y - 6 = 4 \) Maintenant, nous pouvons exprimer y en fonction de x : \( 4y = -7x + 10 \) \( y = \frac{-7x + 10}{4} \) Donc, sans une troisième équation, nous ne pouvons pas déterminer les valeurs spécifiques de x, y et z, mais nous avons z en fonction de x et y, et y en fonction de x. Il nous faudrait une troisième équation pour résoudre complètement ce système d'équations linéaires.
Solving a System of Equations using Substitution Method
Dựa vào hình ảnh bạn cung cấp, ta có hệ phương trình sau: a) \( \begin{cases} 3x = 5y \\ x + y = 40 \end{cases} \) Để giải hệ phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp thế. Bước đầu tiên là biểu diễn một biến thông qua biến còn lại từ một trong hai phương trình. Từ phương trình đầu tiên, ta có thể tìm ra mối quan hệ giữa x và y: \( x = \frac{5}{3}y \) Bây giờ, ta sẽ thế giá trị của x vào phương trình thứ hai: \( \frac{5}{3}y + y = 40 \) Để giải quyết phép toán này, ta cần quy đồng mẫu số: \( \frac{5y + 3y}{3} = 40 \) Kết hợp các số hạng ở tử số: \( \frac{8y}{3} = 40 \) Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ mẫu số: \( 8y = 120 \) Giờ ta chia cả hai vế cho 8 để tìm y: \( y = \frac{120}{8} \) \( y = 15 \) Với giá trị của y, ta thế vào phương trình x = (5/3)y để tìm x: \( x = \frac{5}{3} \times 15 \) \( x = 5 \times 5 \) \( x = 25 \) Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = 25 và y = 15.
Solving an Arcsecant Integral
The integral in the image is: \[ \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} \] This integral is the integral of the arcsecant derivative. We can use the substitution \( x = \sin(\theta) \) to solve it: \[ dx = \cos(\theta) d\theta \] When \( x = 0 \), \( \sin(\theta) = 0 \), so \( \theta = 0 \). When \( x = \frac{1}{2} \), \( \sin(\theta) = \frac{1}{2} \), which means \( \theta = \frac{\pi}{6} \) since it lies in the first quadrant. Substituting \( x = \sin(\theta) \) into the integral gives us: \[ \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\cos(\theta)}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}} d\theta \] Now, \( \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} = \sqrt{\cos^2(\theta)} = \cos(\theta) \) So the integral simplifies to: \[ \int_0^{\frac{\pi}{6}} d\theta \] This is just the integral of \(1\) with respect to \( \theta \) from \(0\) to \(\frac{\pi}{6}\), so it equals \( \theta \) evaluated between these two limits: \[ \theta \Big|_0^{\frac{\pi}{6}} = \frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\pi}{6} \] Therefore, the integral equals \( \frac{\pi}{6} \).
Finding the Intersection Point of Two Lines
To find the point at which the two lines represented by the equations intersect, you can utilize the method of substitution or elimination. In this case, substitution seems straightforward as the first equation is already solved for y. Here is how you do it: You have the following two equations: 1) \( y = 2x - 8 \) 2) \( x + y = 19 \) Substitute the expression from the first equation for y in the second equation: \( x + (2x - 8) = 19 \) Combine like terms: \( 3x - 8 = 19 \) Add 8 to both sides to isolate the term with \( x \): \( 3x = 27 \) Divide by 3 to solve for \( x \): \( x = 9 \) Now that we have the value of \( x \), we can plug it back into the first equation to find the corresponding value of \( y \): \( y = 2(9) - 8 \) \( y = 18 - 8 \) \( y = 10 \) Therefore, the point of intersection for the two lines is at the coordinates (9, 10).
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