Example Question - solving quadratic equation
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving a Quadratic Equation
<p>We have the quadratic equation \(2x^2 - 4x - 6 = 0\).</p> <p>To solve for \(x\), we can use the quadratic formula: \(x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a}\), where \(a = 2\), \(b = -4\), and \(c = -6\).</p> <p>First, calculate the discriminant (\(b^2 - 4ac\)): \((-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64\).</p> <p>Since the discriminant is positive, there are two real solutions.</p> <p>Now compute the two solutions using the quadratic formula:</p> <p>\(x = \frac{{-(-4) \pm \sqrt{64}}}{2 \cdot 2} = \frac{{4 \pm 8}}{4}\).</p> <p>So, the two solutions are:</p> <p>\(x = \frac{{4 + 8}}{4} = \frac{{12}}{4} = 3\)</p> <p>and</p> <p>\(x = \frac{{4 - 8}}{4} = \frac{{-4}}{4} = -1\).</p> <p>Thus, the solutions to the equation \(2x^2 - 4x - 6 = 0\) are \(x = 3\) and \(x = -1\).</p>
Solving a Quadratic Equation
\[ \begin{align*} 2x^2 - 4x - 6 &= 0\\ x^2 - 2x - 3 &= 0 \quad \text{(Divide by 2)}\\ (x - 3)(x + 1) &= 0\\ x - 3 &= 0 \ \text{or} \ x + 1 = 0\\ x &= 3 \ \text{or} \ x = -1 \end{align*} \]
Solving Quadratic Equation using Quadratic Formula
The equation provided in the image is a quadratic equation, which is in the form \(ax^2 + bx + c = 0\): \(3x^2 - 7x - 32 = 0\) To solve this quadratic equation, we can either factorise it, complete the square, or use the quadratic formula. The quadratic formula is: \(x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\) Here, \(a = 3\), \(b = -7\), and \(c = -32\). Let's use the quadratic formula: \(x = \frac{{-(-7) \pm \sqrt{{(-7)^2 - 4(3)(-32)}}}}{{2(3)}}\) \(x = \frac{{7 \pm \sqrt{{49 + 384}}}}{{6}}\) \(x = \frac{{7 \pm \sqrt{{433}}}}{{6}}\) Since \(433\) is a prime number, it cannot be simplified further into a perfect square, so the solutions to the equation are: \(x = \frac{{7 + \sqrt{433}}}{6}\) and \(x = \frac{{7 - \sqrt{433}}}{6}\) These are the roots of the quadratic equation \(3x^2 - 7x - 32 = 0\).
Solving a Quadratic Equation with a Square Root
The equation in the image is a quadratic equation: √(x^2 - 2x - 5) = x To solve this, let's first isolate the square root by moving all terms involving x to one side: √(x^2 - 2x - 5) = x √(x^2 - 2x - 5) - x = 0 Now, to get rid of the square root, let's square both sides of the equation. This step assumes that both sides of the equation are positive or zero, as square root and square functions are not inverses when dealing with negative values. (√(x^2 - 2x - 5) - x)^2 = 0^2 Squaring the left side, we have to apply the formula (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2: (x^2 - 2x - 5) - 2x(√(x^2 - 2x - 5)) + x^2 = 0 We now have two x^2 terms that we can combine, and we also have a term with a square root that we'll need to deal with: 2x^2 - 2x(√(x^2 - 2x - 5)) - 2x - 5 = 0 Let's move the term without the square root to the other side to get: 2x^2 - 2x - 5 = 2x(√(x^2 - 2x - 5)) Now, let's divide by 2x to make the equation simpler, assuming x ≠ 0: x - 1/2 - 5/(2x) = √(x^2 - 2x - 5) Now, we square both sides again to eliminate the square root: (x - 1/2 - 5/(2x))^2 = (x^2 - 2x - 5) Unfortunately, squaring this quite messy expression can lead to a very complex equation. However, the cleanest approach is to start the problem from scratch because the original step of subtracting x from both sides complicates things. Let's re-evaluate the original equation: √(x^2 - 2x - 5) = x Square both sides directly from this point: x^2 - 2x - 5 = x^2 Now cancel x^2 from both sides: -2x - 5 = 0 Add 2x to both sides: -5 = 2x Now divide by 2: x = -5/2 So the solution to the equation is x = -5/2. In order to confirm that this solution is valid and not an extraneous solution introduced by squaring the equation, we need to substitute x back into the original equation and verify: √((-5/2)^2 - 2(-5/2) - 5) = -5/2 Calculating the inside of the square root: √((25/4) + (5) - 5) = -5/2 √((25/4) + (20/4) - (20/4)) = -5/2 √(25/4) = -5/2 Since the square root is a positive number and we obtain √(25/4) = 5/2, this is not equal to -5/2. Thus, there is a contradiction here, which means that our purported solution does not actually satisfy the original equation. Therefore, there is no real solution that satisfies the original equation √(x^2 - 2x - 5) = x, since we ended with an impossible statement: √(25/4) = -5/2, which cannot be true as the square root of a positive number cannot be negative.
Solving Quadratic Equation with Rational Expressions
Để giải phương trình, đầu tiên ta cần quy đồng mẫu số của hai vế. Ta có: \[\frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{3}{2x}\] Nhân cả hai vế với \(2x(x-1)(x-2)\) để loại bỏ mẫu số, ta được: \[2x(x-2) + 2x = 3(x-1)(x-2)\] Giờ sẽ mở rộng và thu gọn hai vế: \(2x^2 - 4x + 2x = 3(x^2 - 3x + 2)\) \(2x^2 - 2x = 3x^2 - 9x + 6\) Đưa tất cả các số hạng về một vế để thu được đa thức bậc hai: \(2x^2 - 3x^2 - 2x + 9x = 6\) \(-x^2 + 7x - 6 = 0\) Bây giờ ta sẽ giải phương trình bậc hai: \(x^2 - 7x + 6 = 0\) Ta có thể phân tích như sau: \((x - 1)(x - 6) = 0\) Ta có hai nghiệm: \(x - 1 = 0\) đưa ra \(x = 1\) (nhưng không chấp nhận vì nó làm cho mẫu số của một phần của phương trình gốc bằng 0) \(x - 6 = 0\) đưa ra \(x = 6\) Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 6\).
Solving a Quadratic Equation
Để giải phương trình thứ nhất: \[ x^4 - 12x^2 + 16 = 0 \] Chúng ta có thể đặt \( u = x^2 \), khi đó phương trình sẽ trở thành: \[ u^2 - 12u + 16 = 0 \] Đây là một phương trình bậc hai, ta có thể giải nó bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó a = 1, b = -12, c = 16. Ta tính delta (\(\Delta\)): \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 144 - 64 = 80 \] Vì \( \Delta > 0 \), phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[ u_1 = \frac{12 + \sqrt{80}}{2} = 6 + 2\sqrt{5} \] \[ u_2 = \frac{12 - \sqrt{80}}{2} = 6 - 2\sqrt{5} \] Bây giờ, vì \( u = x^2 \), ta cần lấy căn bậc hai của các nghiệm này để tìm nghiệm cho \( x \). Điều này cho ta bốn nghiệm: \[ x_1 = \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} \] \[ x_2 = -\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} \] \[ x_3 = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} \] \[ x_4 = -\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} \] Đó là nghiệm của phương trình đầu tiên. Do đề bài yêu cầu giải bằng tiếng Việt, phần tiếng Anh chỉ để giải thích các bước đã làm.
Solving a Quadratic Equation Step by Step
Claro, resolvamos la ecuación paso a paso. La ecuación en la imagen es: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{2} (6x - 6) = -2 \] Primero, podemos simplificar la expresión eliminando el paréntesis distribuyendo \(\frac{1}{2}\) en los términos dentro del paréntesis: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \cdot 6x - \frac{1}{2} \cdot 6 = -2 \] Esto se simplifica a: \[ \frac{1}{x} + 3x - 3 = -2 \] Ahora, queremos tener todos los términos en un lado de la ecuación y todo en términos de \(x\). Sumamos 3 a ambos lados de la ecuación: \[ \frac{1}{x} + 3x = 1 \] Para combinar los términos con \(x\), podemos multiplicar cada término por \(x\) para eliminar el denominador en el primer término: \[ 1 + 3x^2 = x \] Ahora, movemos todos los términos al lado izquierdo para obtener un polinomio igualado a cero: \[ 3x^2 - x + 1 = 0 \] Esta es una ecuación cuadrática y podemos resolverla usando la fórmula cuadrática: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Donde \(a = 3\), \(b = -1\) y \(c = 1\). Sustituimos los valores en la fórmula: \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12}}{6} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{-11}}{6} \] Dado que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real, la ecuación no tiene soluciones reales. Por lo tanto, \(x\) tendría dos soluciones complejas debido al discriminante negativo (\(-11\)). Estas soluciones están en la forma de números complejos.
Solving a Quadratic Equation for Integer N
这个数学问题是关于解一元二次方程的。题目是： 若平方根x等于2/3，且整数N是2/5的倍数时，严格整数分解式最高可有10次幂，请计算N的值。 为了解这个问题，我们首先需要建立一个一元二次方程。根据题目描述，“平方根x等于2/3”，可以表示为： x^(1/2) = 2/3 将这个方程平方，以便去掉根号： x = (2/3)^2 x = 4/9 现在我们知道x的值是4/9。根据题目描述的第二部分，N是2/5的倍数，写作k(2/5)，其中k是一个整数。于是我们可以得到N = 2k/5。 由于N是严格整数分解式，我们可以知道当N的分解中最高有10次幂时，N是一个整数。所以分子必须至少是5的10次幂才能确保分母的所有5乘以2k之后依旧是整数。5的10次幂是5^10，这是最小的整数，它包含5的10次幂。 那么，N = 2k/5中k必须是5^9，这样N才会是一个整数（相当于分母中的一个5和分子中的一个5约去，得到的结果是一个整数）。 所以： N = (2 * 5^9) / 5 N = 2 * 5^8 N = 2 * 390625 N = 781250 综上所述，N的值是781250。
Solving Quadratic Equation with Square Roots
The question provided in the image is "Bài 5: Tình giá trị của biểu thức". Let's solve the equation labeled as (a), which is: 3x - 7 \sqrt{x} = 2 To solve this equation, you can follow these steps: Đặt t = \sqrt{x}, ta có t^2 = x. Phương trình trở thành 3t^2 - 7t = 2 Đưa phương trình về dạng chuẩn: 3t^2 - 7t - 2 = 0 Giờ ta sẽ sử dụng phương pháp giải phương trình bậc hai. Áp dụng công thức nghiệm: t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} trong đó a = 3, b = -7, và c = -2. Tính delta (Δ): Δ = b^2 - 4ac Δ = (-7)^2 - 4*(3)*(-2) Δ = 49 + 24 Δ = 73 Vì Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt: t_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{73}}{2*3} = \frac{7 + \sqrt{73}}{6} t_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{73}}{2*3} = \frac{7 - \sqrt{73}}{6} Nhưng vì t = \sqrt{x}, t phải là số không âm. Vậy nên, ta chỉ chấp nhận nghiệm: t = \frac{7 + \sqrt{73}}{6} Cuối cùng, giá trị của x sẽ là: x = t^2 = \left(\frac{7 + \sqrt{73}}{6}\right)^2 Tính giá trị của x, và đó sẽ là kết quả của phương trình.
Solving Quadratic Equation with Percentage
Phép tính được cung cấp trong hình ảnh là: \[ (x - \frac{1}{5})^2 \pm 1 = 3.5\% \] Ta cần tìm giá trị của x. Đầu tiên, hãy đổi 3.5% thành dạng số thập phân: \[ 3.5\% = 0.035 \] Bây giờ phương trình của chúng ta trở thành: \[ (x - \frac{1}{5})^2 \pm 1 = 0.035 \] Giải quyết từng phần của phương trình, chúng ta có hai tình huống: 1. Khi cộng với 1: \[ (x - \frac{1}{5})^2 + 1 = 0.035 \] \[ (x - \frac{1}{5})^2 = 0.035 - 1 \] \[ (x - \frac{1}{5})^2 = -0.965 \] Phương trình này không có giải pháp nào trong tập số thực vì bạn không thể có một số thực mà khi bình phương lại có giá trị âm. 2. Khi trừ đi 1: \[ (x - \frac{1}{5})^2 - 1 = 0.035 \] \[ (x - \frac{1}{5})^2 = 0.035 + 1 \] \[ (x - \frac{1}{5})^2 = 1.035 \] Áp dụng căn bậc hai cho cả hai vế của phương trình để tìm x: \[ x - \frac{1}{5} = \pm\sqrt{1.035} \] Tiếp tục tìm căn bậc hai của 1.035 (vì phép tính này có thể làm tròn, hãy đảm bảo sử dụng máy tính để có kết quả chính xác nhất). Khi đã có giá trị này, hãy thêm 1/5 vào nó để tìm giá trị của x ứng với mỗi dấu: \[ x = \frac{1}{5} \pm\sqrt{1.035} \] Hãy nhớ rằng bạn chỉ có thể tính toán giá trị x trong phạm vi các số thực; kết quả âm khi bình phương không thể xảy ra với các số thực.
Solving a Quadratic Equation by Factoring
The equation provided in the image is a quadratic equation that can be solved by factoring, completing the square, or using the quadratic formula. Since the coefficients are quite large, I'll solve it by factoring for simplicity. The equation is: \[ 28x^2 - 72x - 180 = 0 \] To make it easier to factor, we can look for a common factor between the coefficients, which in this case is 4. Let's divide the whole equation by 4 to simplify: \[ 7x^2 - 18x - 45 = 0 \] Now, we look to factor the quadratic. We need to find two numbers that multiply to \(7 \times (-45)\) (which is -315) and at the same time add up to -18 (the coefficient of the x term). These numbers are -25 and +7. So, we can express the middle term -18x as -25x + 7x, like this: \[ 7x^2 - 25x + 7x - 45 = 0 \] Group the terms to factor by grouping: \[ (7x^2 - 25x) + (7x - 45) = 0 \] Factor out the common factors: \[ x(7x - 25) + 5(7x - 25) = 0 \] Now you can see that \( (7x - 25) \) is a common factor: \[ (x + 5)(7x - 25) = 0 \] To find the solutions for x, set each factor equal to zero: \[ x + 5 = 0 \quad \text{or} \quad 7x - 25 = 0 \] Solve both equations: \[ x = -5 \quad \text{or} \quad 7x = 25 \] \[ \quad \text{or} \quad x = \frac{25}{7} \approx 3.571 \] So, the solutions to the quadratic equation are: \[ x = -5 \quad \text{or} \quad x = \frac{25}{7} \]
Solving Quadratic Equation
Chúng ta cần giải phương trình sau: \[ \frac{x^2}{16} = \frac{25}{4} \] Đầu tiên, ta nhân cả hai vế của phương trình với 16 để hủy mẫu số ở vế trái: \[ x^2 = \frac{25}{4} \times 16 \] Tính tiếp tục, ta có: \[ x^2 = 25 \times 4 \] \[ x^2 = 100 \] Tiếp theo, ta sẽ lấy căn bậc hai cho cả hai vế của phương trình: \[ x = \pm\sqrt{100} \] \[ x = \pm10 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 10 \) hoặc \( x = -10 \).
Solving Quadratic Equation with Complex Roots
Dựa vào hình ảnh bạn cung cấp, ta có một phương trình bậc hai: \( 4x^2 + 2x + 6 = 0 \). Để giải phương trình này, ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \( ax^2 + bx + c = 0 \) là \( x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \), trong đó \( a \), \( b \), và \( c \) là các hệ số của phương trình (với \( a \neq 0 \)). Ở đây: \( a = 4 \) \( b = 2 \) \( c = 6 \) Ta cần tính \( \Delta = b^2 - 4ac \) để xác định số nghiệm của phương trình. \( \Delta = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 \) \( \Delta = 4 - 96 \) \( \Delta = -92 \) Do \( \Delta < 0 \), phương trình không có nghiệm thực. Phương trình này có hai nghiệm phức, chúng là: \( x_1 = \frac{{-b + \sqrt{\Delta}}}{{2a}} \) \( x_2 = \frac{{-b - \sqrt{\Delta}}}{{2a}} \) Vì \( \Delta \) là số âm, khi tính căn bậc hai của \( \Delta \), ta sẽ có một số ảo \( i \), với \( i = \sqrt{-1} \), suy ra: \( x_1 = \frac{{-2 + \sqrt{-92}}}{{8}} \) \( x_1 = \frac{{-2 + \sqrt{92}i}}{8} \) \( x_1 = \frac{{-1 + \sqrt{23}i}}{4} \) \( x_2 = \frac{{-2 - \sqrt{-92}}}{{8}} \) \( x_2 = \frac{{-2 - \sqrt{92}i}}{8} \) \( x_2 = \frac{{-1 - \sqrt{23}i}}{4} \) Vậy, nghiệm của phương trình là \( x_1 = \frac{{-1 + \sqrt{23}i}}{4} \) và \( x_2 = \frac{{-1 - \sqrt{23}i}}{4} \).
Solving Quadratic Equation: 6x(x-3) = 0
Hình ảnh đưa ra cho thấy một phương trình: 6 x (x - 3) = 0. Để giải phương trình này, bạn thực hiện theo các bước sau: 1. Áp dụng quy tắc phân phối để mở ngoặc: 6x * x - 6x * 3 = 0. 2. Điều này đơn giản hóa thành: 6x^2 - 18x = 0. Bây giờ bạn có phương trình bậc hai dưới dạng chuẩn và bạn có thể tìm nghiệm cho phương trình này bằng cách sử dụng phương pháp phân tách nhân tử hoặc phương pháp công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Nhưng bởi vì cả hai số hạng đều chứa x, bạn có thể phân tách nhân tử x ra khỏi phương trình: x(6x - 18) = 0. Điều này cho bạn hai trường hợp cần xét để tìm nghiệm: a) x = 0. b) 6x - 18 = 0. Giải phương trình 6x - 18 = 0, bạn sẽ có: 6x = 18 x = 18 / 6 x = 3. Vậy nên, phương trình có 2 nghiệm là x = 0 và x = 3.
Solving a Quadratic Equation
Para resolver la ecuación cuadrática dada, la cual es \( x^2 + 8x - 5 \), podemos usar la fórmula general para ecuaciones cuadráticas, que es: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) Donde \( a \), \( b \) y \( c \) son los coeficientes de la ecuación cuadrática \( ax^2 + bx + c = 0 \). Para la ecuación \( x^2 + 8x - 5 \), los coeficientes serían: \( a = 1 \) \( b = 8 \) \( c = -5 \) Sustituimos estos valores en la fórmula general: \( x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} \) Calculamos dentro de la raíz cuadrada primero: \( 8^2 = 64 \) \( 4 \cdot 1 \cdot (-5) = -20 \) Lo cual nos da: \( x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - (-20)}}{2} \) \( x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 20}}{2} \) \( x = \frac{-8 \pm \sqrt{84}}{2} \) La raíz cuadrada de 84 no es un número entero, así que podemos simplificarlo: \( \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{21} \) \( \sqrt{84} = 2 \cdot \sqrt{21} \) Entonces, la solución es: \( x = \frac{-8 \pm 2 \cdot \sqrt{21}}{2} \) Y simplificamos dividiendo por 2: \( x = -4 \pm \sqrt{21} \) Por lo tanto, las soluciones de la ecuación cuadrática son: \( x = -4 + \sqrt{21} \) y \( x = -4 - \sqrt{21} \)
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com