Example Question - solving equations
Here are examples of questions we've helped users solve.
Cubic Equation Solution
<p>Данное уравнение является кубическим уравнением: \(x^3 - 9x^2 + 8x + 4 = 0\).</p> <p>Для решения этого уравнения первым шагом можно попытаться найти один из корней уравнения методом подбора. Возможные рациональные корни уравнения можно найти среди делителей свободного члена.</p> <p>Делители 4: ±1, ±2, ±4.</p> <p>Подставим данные значения в уравнение для проверки:</p> \[ f(-1) = (-1)^3 - 9(-1)^2 + 8(-1) + 4 = -1 - 9 - 8 + 4 \ne 0 \] \[ f(1) = (1)^3 - 9(1)^2 + 8(1) + 4 = 1 - 9 + 8 + 4 \ne 0 \] \[ f(-2) = (-2)^3 - 9(-2)^2 + 8(-2) + 4 \ne 0 \] \[ f(2) = (2)^3 - 9(2)^2 + 8(2) + 4 \ne 0 \] \[ f(-4) = (-4)^3 - 9(-4)^2 + 8(-4) + 4 \ne 0 \] \[ f(4) = (4)^3 - 9(4)^2 + 8(4) + 4 = 64 - 144 + 32 + 4 = 0 \] <p>Таким образом, \(x = 4\) является корнем уравнения.</p> <p>Производим деление многочлена \(x^3 - 9x^2 + 8x + 4\) на двучлен \(x - 4\) методом синтетического деления или делением уголком.</p> <p>Получаем квадратное уравнение как частное:</p> \[ (x - 4)(x^2 - 5x - 1) = 0 \] <p>Следующим шагом решаем квадратное уравнение \(x^2 - 5x - 1 = 0\). Корни квадратного уравнения можно найти через дискриминант:</p> \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 25 + 4 = 29 \] \[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{29}}{2} \] <p>Итак, корни кубического уравнения следующие:</p> \[ x_1 = 4, x_2 = \frac{5 + \sqrt{29}}{2}, x_3 = \frac{5 - \sqrt{29}}{2} \] <p>В заключение, уравнение имеет три корня.</p>
Determining the Relationship Between Algebraic Expressions in a Geometric Diagram
<p>The given image shows a geometric diagram with angles labeled in terms of "x". To solve for "x", we can use the fact that the sum of angles in a triangle is 180 degrees.</p> <p>In triangle QRP:</p> <p>QR + RP + PQ = 180</p> <p>Substituting the given expressions, we get:</p> <p>3x + 4x + 5x = 180</p> <p>Combine like terms:</p> <p>12x = 180</p> <p>Divide both sides by 12 to solve for x:</p> <p>x = \frac{180}{12}</p> <p>x = 15</p>
Logarithmic Equation Solving
<p>给定方程 \(\log_7(7^{2y}-18) = y + 1\)。</p> <p>根据对数的定义，等式可以重写为 \(7^{y+1} = 7^{2y}-18\)。</p> <p>现在我们有 \(7^{2y}-7^{y+1}= 18\)。</p> <p>把 \(7^{y+1}\) 表达为 \(7^y \cdot 7\)，我们得到 \(7^{2y}-7 \cdot 7^y = 18\)。</p> <p>让 \(x = 7^y\)，然后等式变为 \(x^2 - 7x - 18 = 0\)。</p> <p>因式分解多项式得 \(x^2 - 9x + 2x - 18 = 0\)。</p> <p>分组后得到 \(x(x - 9) + 2(x - 9) = 0\)。</p> <p>因此，\(x - 9 = 0\) 或者 \(x + 2 = 0\)。</p> <p>解出 \(x\) 得到 \(x = 9\) 或者 \(x = -2\)。</p> <p>因为 \(x\) 是 \(7^y\) 的幂，所以它不能是负数, 忽略 \(x = -2\)。</p> <p>所以我们有 \(7^y = 9\)。</p> <p>所以 \(y = \log_7{9}\)。</p> <p>答案是 C. \(\log_7{9}\)。</p>
Solving a Linear Equation with Multiple Terms
<p>First, expand the terms: \( 2(3x + 5) - 3(3x - 1) = 3(4 - x) \)</p> <p>\( 6x + 10 - 9x + 3 = 12 - 3x \)</p> <p>Simplify the equation: \( -3x + 13 = 12 - 3x \)</p> <p>Since the \(x\)-terms are on both sides and they cancel each other out, we're left with:</p> <p>\( 13 = 12 \)</p> <p>This is clearly not true; therefore, there is no solution for this equation, and the lines represented by these equations would be parallel and never intersect.</p>
Analysis of Different Approaches to Solving an Algebraic Equation
<p>Para María, su procedimiento es como sigue:</p> <p>Expandir y simplificar la ecuación dada:</p> \[ (x + 2)(x + 3) = 5(x + 3) \] \[ x^2 + 3x + 2x + 6 = 5x + 15 \] \[ x^2 + 5x + 6 = 5x + 15 \] <p>Restar \(5x + 15\) de ambos lados:</p> \[ x^2 + 5x + 6 - (5x + 15) = 0 \] \[ x^2 + 6 - 15 = 0 \] \[ x^2 - 9 = 0 \] <p>Factorizar la diferencia de cuadrados:</p> \[ (x + 3)(x - 3) = 0 \] <p>Solucionar cada factor igualado a cero:</p> \[ x + 3 = 0 \quad \text{or} \quad x - 3 = 0 \] \[ x = -3, \quad x = 3 \]</p> <p>María encuentra correctamente las soluciones \( x = -3 \) y \( x = 3 \).</p> <p>Para Nelson, su procedimiento es como sigue:</p> <p>Expandir la ecuación dada:</p> \[ (x + 2)(x + 3) - 5(x + 3) = 0 \] \[ x^2 + 3x + 2x + 6 - 5x - 15 = 0 \] \[ x^2 + 6 - 15 = 0 \] <p>Esta simplificación es incorrecta, ya que se ha omitido el término \( x \) presente en la expansión:</p> \[ x^2 + 5x - 9 = 0 \] <p>El error de Nelson es que no simplificó correctamente los términos \( x \).</p> <p>Para Oscar, su procedimiento es como sigue:</p> <p>Dividir ambos lados de la ecuación original por \( x + 3 \), suponiendo que \( x + 3 \neq 0 \):</p> \[ \frac{(x + 2)(x + 3)}{x + 3} = \frac{5(x + 3)}{x + 3} \] \[ x + 2 = 5 \] <p>Restar 2 de ambos lados:</p> \[ x = 3 \] <p>Oscar encuentra la solución \( x = 3 \), pero al dividir por \( x + 3 \), omitió la solución \( x = -3 \), cuando \( x + 3 = 0 \).</p> <p>Por lo tanto, la solución completa de la ecuación es \( x = -3, x = 3 \), y la respuesta correcta es la proporcionada por María.</p>
Solving for Unknown Variable in an Equation
9 = 3 + x/4 9 - 3 = x/4 6 = x/4 x = 6 * 4 x = 24
Inconsistent System of Equations
제시된 문제를 풀기 위해 여기에 제공된 두 연립방정식을 이용할 것입니다. \( \frac{ax - by}{bx + ay} = 8 \) 및 \( \frac{bx - ay}{ax - by} = \frac{7}{8} \) 해를 구하기 위해 먼저 두 번째 방정식의 분모와 분자를 바꾸기 위해 역수를 취합시다: \( \frac{ax - by}{bx + ay} = \frac{8}{7} \) (두 번째 방정식의 역수) 이제 우리는 두 방정식이 같다는 것을 알고 있으니: \( 8 = \frac{8}{7} \) 이는 모순이므로, 주어진 시스템에 해가 없음을 의미합니다. 그러므로 x와 y에 대한 해는 존재하지 않습니다.
Solving Equations for Unknown Variables
Claro, puedo ayudarte con eso. La pregunta muestra varias ecuaciones donde se debe resolver para encontrar el valor de la letra \( a \) en cada caso. Vamos a resolver cada una de ellas: a) \( 25 : a = 5 \) Para resolver para \( a \), se necesita despejar \( a \) multiplicando ambos lados de la ecuación por \( a \) y luego dividiendo ambos lados por 5: \[ a = \frac{25}{5} \] \[ a = 5 \] b) \( 18 : a = 1 \) En este caso, como cualquier número dividido por sí mismo da como resultado 1, \( a \) debe ser igual al número en el otro lado de la ecuación: \[ a = 18 \] c) \( 14 : (a) = 2 \) Despejamos \( a \) de forma similar: \[ a = \frac{14}{2} \] \[ a = 7 \] d) \( -7 + a = -11 \) Para despejar \( a \), sumamos 7 a ambos lados de la ecuación: \[ a = -11 + 7 \] \[ a = -4 \] Resumiendo, las respuestas son: a) \( a = 5 \) b) \( a = 18 \) c) \( a = 7 \) d) \( a = -4 \)
Incomplete Mathematical Expression
Leider wird der vollständige mathematische Ausdruck im Bild abgeschnitten, weswegen ich die Aufgabe so, wie sie dargestellt wird, nicht korrekt lösen kann. Der sichtbare Teil des Ausdrucks lautet: \[ 13.6 \times \sqrt{a^2 + b^2} + \frac{4}{8} \] Um jedoch zumindest diesen Teil zu vereinfachen, können wir die Division ausführen. Da \(\frac{4}{8}\) gleich \(0.5\) ist, würde der Ausdruck wie folgt vereinfacht werden: \[ 13.6 \times \sqrt{a^2 + b^2} + 0.5 \] Wenn du mir den vollständigen Ausdruck zur Verfügung stellen könntest oder mehr Informationen über das Problem gibst, könnte ich dir eine genauere Lösung oder ein genaueres Vorgehen anbieten.
Solving Trigonometric Equations using Sum of Angles Identity
Para resolver la ecuación proporcionada en la imagen, utilizaremos la identidad trigonométrica del seno de la suma de dos ángulos. La identidad es la siguiente: \( \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta) \). Ahora sustituiremos esta identidad en el numerador de la fracción que se nos da: \( \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)} = \frac{\sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)} \). Al tener la misma expresión `\cos( \alpha ) \cos( \beta )` en ambas partes del denominador, podemos simplificar la fracción dividiendo cada término del numerador entre `\cos( \alpha ) \cos( \beta )` individualmente: \( \frac{\sin(\alpha) \cos(\beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)} + \frac{\cos(\alpha) \sin(\beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)} \). Esto se simplifica a: \( \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} + \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} \). Lo cual, utilizando la definición de la tangente, que es el seno entre el coseno, queda como: \( \tan(\alpha) + \tan(\beta) \). Por consiguiente, la expresión original se simplifica y queda como: \( \sin(\alpha + \beta) = \tan(\alpha) + \tan(\beta) \), siempre que los cosenos de `\alpha` y `\beta` no sean cero (para evitar la división entre cero).
Solving a simple equation using PEMDAS
To solve the equation in the image, you should follow the order of operations, often remembered by the acronym PEMDAS, which stands for Parentheses, Exponents, Multiplication and Division (from left to right), Addition and Subtraction (from left to right). The equation is 4 + (6 × 2). According to the order of operations, you must first do the multiplication inside the parentheses: 6 × 2 = 12 Then, you add the result to 4: 4 + 12 = 16 So the solution to the equation is 16.
Solving Complex Number Equation Using Properties of Operations
Para resolver la ecuación que aparece en la imagen, vamos a utilizar las propiedades de las operaciones con números complejos. La ecuación presenta una diferencia entre dos números complejos igualada al cuadrado de otro número complejo: \[ d(x - y)^2 = (a + bi)^2 \] donde \( d \) es una constante y \( x \), \( y \), \( a \), y \( b \) son también números complejos. El número complejo \( x \) es \( \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\sqrt{3}i \), y el número complejo \( y \) es \( 1 \). Al evaluar \( x - y \), obtenemos: \[ x - y = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3}\sqrt{3}i\right) - 1 = \frac{1}{3} - 1 + \frac{1}{3}\sqrt{3}i = -\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\sqrt{3}i \] Ahora hallamos el cuadrado de \( x - y \): \[ (-\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\sqrt{3}i)^2 = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + 2 \cdot -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}\sqrt{3}i + \left(\frac{1}{3}\sqrt{3}i\right)^2 \] \[ = \frac{4}{9} - \frac{4}{9}\sqrt{3}i - \frac{1}{3}i^2 \] \[ = \frac{4}{9} - \frac{4}{9}\sqrt{3}i + \frac{1}{3} \] \[ = \frac{4}{9} + \frac{3}{9} - \frac{4}{9}\sqrt{3}i \] \[ = \frac{7}{9} - \frac{4}{9}\sqrt{3}i \] Ahora igualamos el cuadrado hallado con el cuadrado del número complejo de la derecha de la ecuación original: \[ d\left(\frac{7}{9} - \frac{4}{9}\sqrt{3}i\right) = (a + bi)^2 \] Para encontrar \( d \), comparamos parte real con real y parte imaginaria con imaginaria del resultado de la elevación al cuadrado \( (a + bi)^2 \). Si simplificamos \( (a + bi)^2 \) obtenemos \( a^2 - b^2 + 2abi \). Igualamos partes reales y partes imaginarias: \[ d\cdot\frac{7}{9} = a^2 - b^2 \] \[ -d\cdot\frac{4}{9}\sqrt{3} = 2ab \] Desafortunadamente, sin más información sobre los valores de \( a \), \( b \), o \( d \), no puedo continuar resolviendo el problema. Necesitaríamos valores específicos para \( a \) y \( b \) para poder encontrar un valor definido para \( d \).
Solving Mathematical Expression with Order of Operations
Para resolver la expresión matemática dada en la imagen, primero sigamos las reglas de jerarquía de las operaciones, realizando primero las potencias y luego las sumas y restas en orden. La expresión es: \[ 1 + \left(\frac{6}{2}\right)^2 - \frac{5}{2} - (-3)^3 \] Empecemos con las potencias: El término \(\left(\frac{6}{2}\right)^2\) es igual a \(\left(3\right)^2\) porque \( \frac{6}{2} = 3 \), y \(3^2 = 9\). El término \((-3)^3\) es igual a \(-27\), porque \( -3 \times -3 \times -3 = -27 \). Reemplacemos esos valores en la expresión original: \[ 1 + 9 - \frac{5}{2} - (-27) \] Ahora, resolvamos la resta y la suma: El término \(- \frac{5}{2}\) es equivalente a \(-2.5\) en forma decimal. La expresión ahora es: \[ 1 + 9 - 2.5 + 27 \] Sumemos y restemos en orden: \[ 10 - 2.5 + 27 \] Ahora, 10 menos 2.5 es 7.5, así que nos queda: \[ 7.5 + 27 \] Finalmente, sumamos 7.5 y 27 para obtener: \[ 34.5 \] Por lo tanto, el resultado de la expresión es 34.5.
Solving a Fractional Equation Step by Step
Por supuesto, comenzaré resolviendo la ecuación paso a paso. La ecuación inicial es: \[ \frac{x}{2} + \frac{x}{5} = 2 + \frac{x}{3} - \frac{3}{5} \] Para resolverla, es útil encontrar un denominador común para todos los términos que contienen fracciones. El denominador común más pequeño que podemos usar aquí es 30, ya que 2, 3 y 5 son todos factores de 30. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 30 para eliminar los denominadores: \[ 30 \left( \frac{x}{2} \right) + 30 \left( \frac{x}{5} \right) = 30 \cdot 2 + 30 \left( \frac{x}{3} \right) - 30 \left( \frac{3}{5} \right) \] Esto nos da: \[ 15x + 6x = 60 + 10x - 18 \] Combinamos términos semejantes: \[ 21x = 10x + 42 \] Ahora, restamos 10x de ambos lados para tener los términos con x en un solo lado: \[ 11x = 42 \] Finalmente, dividimos ambos lados por 11 para despejar x: \[ x = \frac{42}{11} \] Entonces, la solución de la ecuación es: \[ x = \frac{42}{11} \approx 3.818 \] Así que x es aproximadamente 3.818.
Contradictory Equations in Math
Il semble que l'image contienne deux équations : 1) \( x = 3 ? \) 2) \( x = 5 ? \) Ces équations sont des affirmations très simples concernant la valeur de la variable \( x \). Pour résoudre ces équations, nous pouvons simplement regarder les égalités données. Selon la première équation, \( x \) est égal à 3. Selon la deuxième équation, \( x \) est égal à 5. Cependant, il ne peut y avoir qu'une seule valeur pour \( x \) à la fois dans un contexte mathématique donné. Si ces deux équations sont considérées ensemble, elles seraient contradictoires, car \( x \) ne peut être simultanément égal à 3 et à 5. Il est possible que ces équations représentent deux problèmes distincts et non liés, auquel cas chacune aurait une solution correcte indépendamment de l'autre.
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