CamTutor

Question - Cubic Equation Solution

math algebra solving equations cubic equation roots of cubic

Solution:

Данное уравнение является кубическим уравнением: \(x^3 - 9x^2 + 8x + 4 = 0\).

Для решения этого уравнения первым шагом можно попытаться найти один из корней уравнения методом подбора. Возможные рациональные корни уравнения можно найти среди делителей свободного члена.

Делители 4: ±1, ±2, ±4.

Подставим данные значения в уравнение для проверки:

\[ f(-1) = (-1)^3 - 9(-1)^2 + 8(-1) + 4 = -1 - 9 - 8 + 4 \ne 0 \] \[ f(1) = (1)^3 - 9(1)^2 + 8(1) + 4 = 1 - 9 + 8 + 4 \ne 0 \] \[ f(-2) = (-2)^3 - 9(-2)^2 + 8(-2) + 4 \ne 0 \] \[ f(2) = (2)^3 - 9(2)^2 + 8(2) + 4 \ne 0 \] \[ f(-4) = (-4)^3 - 9(-4)^2 + 8(-4) + 4 \ne 0 \] \[ f(4) = (4)^3 - 9(4)^2 + 8(4) + 4 = 64 - 144 + 32 + 4 = 0 \]

Таким образом, \(x = 4\) является корнем уравнения.

Производим деление многочлена \(x^3 - 9x^2 + 8x + 4\) на двучлен \(x - 4\) методом синтетического деления или делением уголком.

Получаем квадратное уравнение как частное:

\[ (x - 4)(x^2 - 5x - 1) = 0 \]

Следующим шагом решаем квадратное уравнение \(x^2 - 5x - 1 = 0\). Корни квадратного уравнения можно найти через дискриминант:

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 25 + 4 = 29 \] \[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{29}}{2} \]

Итак, корни кубического уравнения следующие:

\[ x_1 = 4, x_2 = \frac{5 + \sqrt{29}}{2}, x_3 = \frac{5 - \sqrt{29}}{2} \]

В заключение, уравнение имеет три корня.