Question - Solving Complex Number Equation Using Properties of Operations
Solution:
Para resolver la ecuación que aparece en la imagen, vamos a utilizar las propiedades de las operaciones con números complejos. La ecuación presenta una diferencia entre dos números complejos igualada al cuadrado de otro número complejo:\[ d(x - y)^2 = (a + bi)^2 \]donde $$ d $$ es una constante y $$ x $$, $$ y $$, $$ a $$, y $$ b $$ son también números complejos.El número complejo $$ x $$ es $$ \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\sqrt{3}i $$, y el número complejo $$ y $$ es $$ 1 $$. Al evaluar $$ x - y $$, obtenemos:\[ x - y = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3}\sqrt{3}i\right) - 1 = \frac{1}{3} - 1 + \frac{1}{3}\sqrt{3}i = -\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\sqrt{3}i \]Ahora hallamos el cuadrado de $$ x - y $$:\[ (-\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\sqrt{3}i)^2 = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + 2 \cdot -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}\sqrt{3}i + \left(\frac{1}{3}\sqrt{3}i\right)^2 \]\[ = \frac{4}{9} - \frac{4}{9}\sqrt{3}i - \frac{1}{3}i^2 \]\[ = \frac{4}{9} - \frac{4}{9}\sqrt{3}i + \frac{1}{3} \]\[ = \frac{4}{9} + \frac{3}{9} - \frac{4}{9}\sqrt{3}i \]\[ = \frac{7}{9} - \frac{4}{9}\sqrt{3}i \]Ahora igualamos el cuadrado hallado con el cuadrado del número complejo de la derecha de la ecuación original:\[ d\left(\frac{7}{9} - \frac{4}{9}\sqrt{3}i\right) = (a + bi)^2 \]Para encontrar $$ d $$, comparamos parte real con real y parte imaginaria con imaginaria del resultado de la elevación al cuadrado $$ (a + bi)^2 $$. Si simplificamos $$ (a + bi)^2 $$ obtenemos $$ a^2 - b^2 + 2abi $$. Igualamos partes reales y partes imaginarias:\[ d\cdot\frac{7}{9} = a^2 - b^2 \]\[ -d\cdot\frac{4}{9}\sqrt{3} = 2ab \]Desafortunadamente, sin más información sobre los valores de $$ a $$, $$ b $$, o $$ d $$, no puedo continuar resolviendo el problema. Necesitaríamos valores específicos para $$ a $$ y $$ b $$ para poder encontrar un valor definido para $$ d $$.
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