Question - Solving Trigonometric Equations using Sum of Angles Identity
Solution:
Para resolver la ecuación proporcionada en la imagen, utilizaremos la identidad trigonométrica del seno de la suma de dos ángulos. La identidad es la siguiente:$$ \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta) $$.Ahora sustituiremos esta identidad en el numerador de la fracción que se nos da:$$ \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)} = \frac{\sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)} $$.Al tener la misma expresión `\cos( \alpha ) \cos( \beta )` en ambas partes del denominador, podemos simplificar la fracción dividiendo cada término del numerador entre `\cos( \alpha ) \cos( \beta )` individualmente:$$ \frac{\sin(\alpha) \cos(\beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)} + \frac{\cos(\alpha) \sin(\beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)} $$.Esto se simplifica a:$$ \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} + \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} $$.Lo cual, utilizando la definición de la tangente, que es el seno entre el coseno, queda como:$$ \tan(\alpha) + \tan(\beta) $$.Por consiguiente, la expresión original se simplifica y queda como:$$ \sin(\alpha + \beta) = \tan(\alpha) + \tan(\beta) $$,siempre que los cosenos de `\alpha` y `\beta` no sean cero (para evitar la división entre cero).
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