Example Question - quadratic equation
Here are examples of questions we've helped users solve.
Determine the Values of Coefficients
<p>Given the quadratic expression \(2x^2 - 5x + 1\), we can identify the coefficients as follows:</p> <p>Let \(a = 2\), \(b = -5\), and \(c = 1\).</p>
Solve the System of Equations with Square Root and Quadratic Equations
<p>Определим, что \( \sqrt{x - x^2} = 4 - x y \). Возводим обе стороны в квадрат:</p> <p>\( x - x^2 = (4 - xy)^2 \)</p> <p>\( x - x^2 = 16 - 8xy + x^2y^2 \)</p> <p>Получим выражение для \( y^2 \) из второго уравнения системы:</p> <p>\( y^2 - 4xy + 4 = 0 \)</p> <p>\( y^2 = 4xy - 4 \)</p> <p>Подставим это выражение для \( y^2 \) в предыдущее уравнение:</p> <p>\( x - x^2 = 16 - 8xy + x(4xy - 4) \)</p> <p>\( x - x^2 = 16 - 8xy + 4x^2y - 4x \)</p> <p>Теперь упростим и решим получившееся уравнение относительно \( x \):</p> <p>\( x - x^2 = 16 - 8xy + 4x^2y - 4x \)</p> <p>\( 0 = 16 - 8xy + 4x^2y - 4x + x^2 - x \)</p> <p>\( 0 = 16 - 4x(2y - 1) + x^2(4y - 1) \)</p> <p>Далее, учитывая, что система имеет несколько решений, можно проанализировать и использовать подходы для решения квадратных уравнений, чтобы найти допустимые значения \( x \) и \( y \). В конечном итоге, необходимо решить систему уравнений с учетом возможных ограничений, введенных квадратным корнем и квадратными уравнениями.</p>
Determining the Time and Maximum Height of a Projectiles Launch
<p>To determine the time at which the projectile reaches its maximum height, we need to find when the velocity is zero. The velocity is the derivative of the position function \( y(t) \).</p> <p>The position function given in the question is:</p> <p>\[ y(t) = -16t^2 + 64t + 80 \]</p> <p>To find the velocity, we differentiate \( y(t) \) with respect to \( t \):</p> <p>\[ v(t) = y'(t) = \frac{d}{dt}(-16t^2 + 64t + 80) = -32t + 64 \]</p> <p>We set the velocity to zero and solve for \( t \):</p> <p>\[ 0 = -32t + 64 \]</p> <p>\[ 32t = 64 \]</p> <p>\[ t = 2 \]</p> <p>The projectile reaches its maximum height at \( t = 2 \) seconds.</p> <p>Now we calculate the maximum height by substituting \( t = 2 \) back into the position function \( y(t) \):</p> <p>\[ y(2) = -16(2)^2 + 64(2) + 80 \]</p> <p>\[ y(2) = -16(4) + 128 + 80 \]</p> <p>\[ y(2) = -64 + 128 + 80 \]</p> <p>\[ y(2) = 144 \]</p> <p>Therefore, the maximum height reached by the projectile is 144 feet.</p>
Quadratic Equation Problem
<p>Para resolver la ecuación cuadrática \( x^2 + 3x - 80 = 0 \), primero buscamos dos números que multiplicados den -80 y sumados den 3. Los números que cumplen con esto son 10 y -8, ya que \( 10 \cdot (-8) = -80 \) y \( 10 + (-8) = 2 \).</p> <p>Entonces, expresamos la ecuación cuadrática como el producto de dos binomios:</p> <p>\[ (x + 10)(x - 8) = 0 \]</p> <p>Luego, igualamos cada binomio a cero y resolvemos para \( x \):</p> <p>\[ x + 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -10 \]</p> <p>\[ x - 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 8 \]</p> <p>Por lo tanto, las soluciones de la ecuación cuadrática son \( x = -10 \) y \( x = 8 \).</p>
Sum of Roots of a Quadratic Equation
Для квадратного уравнения вида \( ax^2 + bx + c = 0 \) сумма корней вычисляется по формуле Виета: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \). <p>В данном случае у нас есть уравнение \( 5x^2 - 7x + 1 = 0 \), где \( a = 5 \), \( b = -7 \), и \( c = 1 \).</p> <p>Используем формулу Виета для нахождения суммы корней:</p> <p>\( x_1 + x_2 = -\frac{-7}{5} \)</p> <p>\( x_1 + x_2 = \frac{7}{5} \).</p> <p>Следовательно, сумма корней данного уравнения равна \( \frac{7}{5} \).</p>
Solve the Linear Equation for the Unknown Variable
<p>Given equation: \( \frac{1}{2} (70 + 2x -10)(20) = \frac{1}{3}600 \)</p> <p>Multiply through by 2 to get rid of the fraction: \( (70 + 2x - 10)(20) = \frac{2}{3}600 \)</p> <p>Simplify inside the parentheses: \( (60 + 2x)(20) = \frac{2}{3}600 \)</p> <p>Multiply out the parentheses: \( 1200 + 40x = \frac{2}{3}600 \)</p> <p>Divide both sides by 40: \( x + 30 = \frac{2}{3} \times 15 \)</p> <p>Divide 600 by 3: \( x + 30 = \frac{2}{3} \times 15 = 2 \times 5 = 10 \)</p> <p>Subtract 30 from both sides: \( x = 10 - 30 \)</p> <p>Therefore: \( x = -20 \)</p>
Algebraic Expression Simplification
\[ \begin{array}{l} \text{Given: } y + \frac{1}{y} = b \\ \text{Squaring both sides: } \\ \left( y + \frac{1}{y} \right)^2 = b^2 \\ y^2 + 2 \cdot y \cdot \frac{1}{y} + \left( \frac{1}{y} \right)^2 = b^2 \\ y^2 + 2 + \frac{1}{y^2} = b^2 \\ \text{Subtract 2 from both sides: } \\ y^2 + \frac{1}{y^2} = b^2 - 2 \end{array} \]
Analysis of Different Approaches to Solving an Algebraic Equation
<p>Para María, su procedimiento es como sigue:</p> <p>Expandir y simplificar la ecuación dada:</p> \[ (x + 2)(x + 3) = 5(x + 3) \] \[ x^2 + 3x + 2x + 6 = 5x + 15 \] \[ x^2 + 5x + 6 = 5x + 15 \] <p>Restar \(5x + 15\) de ambos lados:</p> \[ x^2 + 5x + 6 - (5x + 15) = 0 \] \[ x^2 + 6 - 15 = 0 \] \[ x^2 - 9 = 0 \] <p>Factorizar la diferencia de cuadrados:</p> \[ (x + 3)(x - 3) = 0 \] <p>Solucionar cada factor igualado a cero:</p> \[ x + 3 = 0 \quad \text{or} \quad x - 3 = 0 \] \[ x = -3, \quad x = 3 \]</p> <p>María encuentra correctamente las soluciones \( x = -3 \) y \( x = 3 \).</p> <p>Para Nelson, su procedimiento es como sigue:</p> <p>Expandir la ecuación dada:</p> \[ (x + 2)(x + 3) - 5(x + 3) = 0 \] \[ x^2 + 3x + 2x + 6 - 5x - 15 = 0 \] \[ x^2 + 6 - 15 = 0 \] <p>Esta simplificación es incorrecta, ya que se ha omitido el término \( x \) presente en la expansión:</p> \[ x^2 + 5x - 9 = 0 \] <p>El error de Nelson es que no simplificó correctamente los términos \( x \).</p> <p>Para Oscar, su procedimiento es como sigue:</p> <p>Dividir ambos lados de la ecuación original por \( x + 3 \), suponiendo que \( x + 3 \neq 0 \):</p> \[ \frac{(x + 2)(x + 3)}{x + 3} = \frac{5(x + 3)}{x + 3} \] \[ x + 2 = 5 \] <p>Restar 2 de ambos lados:</p> \[ x = 3 \] <p>Oscar encuentra la solución \( x = 3 \), pero al dividir por \( x + 3 \), omitió la solución \( x = -3 \), cuando \( x + 3 = 0 \).</p> <p>Por lo tanto, la solución completa de la ecuación es \( x = -3, x = 3 \), y la respuesta correcta es la proporcionada por María.</p>
Analyzing Student Solutions to a Quadratic Equation
<p>María:</p> <p>x^2 + 5x + 6 = 5x + 15 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{(Ecuación original)} </p> <p>x^2 + 5x + 6 - 5x - 15 = 0 \ \ \ \text{(Restamos 5x y 15 de ambos lados)} </p> <p>x^2 - 9 = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{(Simplificación)} </p> <p>(x + 3)(x - 3) = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{(Factorización de la diferencia de cuadrados)} </p> <p>x = -3, x = 3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{(Solución por factorización)} </p> <p>Nelson:</p> <p>(x + 2)(x + 3) - 5(x + 3) = 0 \ \ \ \text{(Ecuación original)} </p> <p>(x + 3)[(x + 2) - 5] = 0 \ \ \ \ \ \ \text{(Factor común (x+3))} </p> <p>(x + 3)(x - 3) = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{(Simplificación)} </p> <p>x = -3, x = 3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{(Solución por factorización)} </p> <p>Oscar:</p> <p>2x + 5 = x + 8 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{(Ecuación original)} </p> <p>2x - x = 8 - 5 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{(Restamos x y 5 de ambos lados)} </p> <p>x = 3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{(Simplificación)} </p> <p>La solución correcta viene dada por María y Nelson, quienes encontraron las dos soluciones válidas al resolver la ecuación cuadrática: \(x = -3\) y \(x = 3\). Oscar, sin embargo, solo encontró una solución válida \(x = 3\), ya que redujo incorrectamente la ecuación a una lineal sin darse cuenta de que era cuadrática.</p>
Analyzing Student Solutions to a Quadratic Equation
<p>Maria:</p> <p>(x^2 + 5x + 6 = 5x + 15) \Rightarrow (x^2 + 5x - 5x + 6 - 15 = 0)</p> <p>(x^2 + 6 - 15 = 0) \Rightarrow (x^2 - 9 = 0)</p> <p>(x + 3)(x - 3) = 0</p> <p>x + 3 = 0 \quad o \quad x - 3 = 0</p> <p>x = -3 \quad o \quad x = 3</p> <p>Nelson:</p> <p>2(x + 3)^2 - 5(x + 3) + 3 = 0 \quad \text{(esto es incorrecto; debería ser $5(x + 3)$ en ambos lados, así que su solución es incorrecta.)}</p> <p>Óscar:</p> <p>(x + 2)x + 3x + 3 = 5 + x + 3) \Rightarrow (x^2 + 2x + 3x + 3 = 5 + x + 3)</p> <p>(x^2 + 5x + 3 = x + 8) \Rightarrow (x^2 + 5x - x + 3 - 8 = 0)</p> <p>(x^2 + 4x - 5 = 0)</p> <p>(x^2 + 5x - x - 5 = 0) \quad \text{(esto es incorrecto; el procedimiento de Óscar contiene un error.)}</p> <p>La única solución correcta dada es la de María que obtiene las raíces x = 3 y x = -3.</p>
Factor Polynomials Using the S.O.S Method
<p>a) $a = 1 - 6x + 12x^2 - 14x^3 + 3$</p> <p>Đặt $a_1 = a - 3 = - 14x^3 + 12x^2 - 6x + 1$</p> <p>Ta thấy $a_1$ có hệ số của $x^2$ là $12 = 3 \cdot 4$ và hệ số tự do là $1 = 1 \cdot 1$, chọn $a=3$ và $b=1$ để áp dụng phương pháp S.O.S:</p> <p>$a_1 = -14x^3 + 4x^2 + 8x^2 - 6x + 2x - 1$</p> <p>$a_1 = -2x(7x^2 - 2x - 2) + 1(4x^2 - 6x + 2)$</p> <p>$a_1 = -2x(7x^2 - 2x - 2) + 1(2x - 1)^2$</p> <p>Suy ra $a = a_1 + 3 = -2x(7x^2 - 2x - 2) + (2x - 1)^2 + 3$</p> <p>b) $b = 4x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1$</p> <p>Tương tự như trên, nhận thấy hệ số $x^2$ là $5 = 1 \cdot 5$, hệ số tự do là $1 = 1 \cdot 1$, chọn $a=1$ và $b=5$ để áp dụng phương pháp S.O.S:</p> <p>$b = (x^2 + x)^2 + (4x^3 + 3x^2 + 2x + 1)$</p> <p>$b = x^2(x^2 + 2x + 1) + 4x(x^2 + x + 1) + (x^2 + x + 1)$</p> <p>$b = x^2(x + 1)^2 + 4x(x + 1)^2 + (x + 1)^2$</p> <p>$b = (x^2 + 4x + 1)(x + 1)^2$</p> <p>c) $c = 3x^2 - 22xy + 11x + 37y^2 + 10$</p> <p>Chọn $a=3$ và $b=37$ để áp dụng phương pháp S.O.S, nhận thấy hệ số $xy$ là $-22 = -1 \cdot 22$ và hệ số tự do là $10 = 2 \cdot 5$:</p> <p>$c = (3x^2 - 11x) - (22xy - 37y^2) + (11x + 37y^2 + 10)$</p> <p>$c = 11x(3x - 1) - 37y(2y + 1) + 11(3x + 10)$</p> <p>$c = 11(3x - 1)x + 37(1 - 2y)y + 11(3x + 10)$</p> <p>$c = 11x(3x - 1) + 37y(1 - 2y) + 11(3x + 10)$</p> <p>d) $d = x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 7x + 1$</p> <p>Đặt $d_1 = d - 1 = x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 7x$</p> <p>Nhận thấy rằng $d_1$ gần giống với khai triển của $(x - 1)^4$, ta có:</p> <p>$d_1 = (x - 1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$</p> <p>$d_1 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 - 3x^3 + 8x^2 - 3x$</p> <p>$d_1 = (x - 1)^4 - 3x^3(1 - x) - 3x(1 - x)$</p> <p>$d_1 = (x - 1)^4 - 3x(x^2 - x) - 3x(x - 1)$</p> <p>$d_1 = (x - 1)^4 - 3x(x^2 - x - 1)$</p> <p>Suy ra $d = d_1 + 1 = (x - 1)^4 - 3x(x^2 - x - 1) + 1$</p> <p>e) $e = x^3 - 8x + 63$</p> <p>Đây là dạng phương trình bậc 3 không có số hạng $x^2$, ta sẽ tìm ước số của $63$ để thử nghiệm và phân tích thành nhân tử:</p> <p>Ta thấy $x = 3$ là một nghiệm của phương trình $x^3 - 8x + 63 = 0$, do đó:</p> <p>$e = (x - 3)(Ax^2 + Bx + C)$</p> <p>Ta có $(x - 3)(x^2 + 3x + 21)$</p> <p>$e = (x - 3)(x^2 + 3x + 21)$</p> <p>Vậy $e = (x - 3)(x^2 + 3x + 21)$</p>
Solving a Quadratic Equation
\[ \begin{align*} 2x^2 - 4x - 6 &= 0\\ x^2 - 2x - 3 &= 0 \quad \text{(Divide by 2)}\\ (x - 3)(x + 1) &= 0\\ x - 3 &= 0 \ \text{or} \ x + 1 = 0\\ x &= 3 \ \text{or} \ x = -1 \end{align*} \]
Solving Quadratic Equation using Quadratic Formula
To solve the quadratic equation \(3x^2 + 5x - 2 = 0\), use the quadratic formula: \(x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\) Here, \(a = 3\), \(b = 5\), and \(c = -2\). Step 1: Calculate the discriminant Discriminant \(D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(3)(-2) = 25 + 24 = 49\) Step 2: Calculate the two roots using the quadratic formula \(x = \frac{{-5 \pm \sqrt{49}}}{{2(3)}}\) Step 3: Compute the two values of \(x\) \(x = \frac{{-5 \pm 7}}{{6}}\) Roots: \(x_1 = \frac{{-5 + 7}}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) \(x_2 = \frac{{-5 - 7}}{6} = \frac{-12}{6} = -2\) The two solutions are \(x = \frac{1}{3}\) and \(x = -2\).
Quadratic Equation Solution
\[ \begin{align*} 3x^2 + 5x - 2 &= 0 \\ (3x - 1)(x + 2) &= 0 \\ \end{align*} \] \[ \begin{align*} 3x - 1 &= 0 \quad 或 \quad x + 2 = 0 \\ x &= \frac{1}{3} \quad 或 \quad x = -2 \\ \end{align*} \]
Solving a Quadratic Equation by the Quadratic Formula
Para resolver la ecuación que aparece en la imagen, necesitamos simplificar y expandir las expresiones en ambos lados del signo igual, y después recolectar términos semejantes y resolver para x. La ecuación es: \( 6(2x - 3) + (2x - 9)^2 = (5x + 1)(4x - 3) \) Comenzamos expandiendo y simplificando ambos lados de la ecuación: Primero, el lado izquierdo de la ecuación: \( 6(2x - 3) = 12x - 18 \) \( (2x - 9)^2 = (2x - 9)(2x - 9) = 4x^2 - 18x - 18x + 81 = 4x^2 - 36x + 81 \) Sumamos ambas expresiones simplificadas: \( 12x - 18 + 4x^2 - 36x + 81 \) \( = 4x^2 - 24x + 63 \) Ahora, el lado derecho de la ecuación: \( (5x + 1)(4x - 3) = 20x^2 - 15x + 4x - 3 = 20x^2 - 11x - 3 \) Igualamos ambas expresiones: \( 4x^2 - 24x + 63 = 20x^2 - 11x - 3 \) Ahora, llevamos todos los términos al mismo lado para tener una ecuación cuadrática igualada a cero: \( 4x^2 - 24x + 63 - 20x^2 + 11x + 3 = 0 \) \( -16x^2 + 13x + 66 = 0 \) Esta es una ecuación cuadrática que podemos resolver por factorización, completando el cuadrado o usando la fórmula cuadrática. Sin embargo, al mirar los coeficientes, parece que no hay factores obvios, así que la fórmula cuadrática parece ser la mejor opción. La fórmula cuadrática es \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), donde \(a\), \(b\), y \(c\) son los coeficientes de la ecuación \(ax^2 + bx + c = 0\). En este caso, \(a = -16\), \(b = 13\), y \(c = 66\). Calculamos el discriminante (\(b^2 - 4ac\)): \(13^2 - 4(-16)(66) = 169 + 4224 = 4393\) Y aplicamos la fórmula cuadrática: \(x = \frac{-13 \pm \sqrt{4393}}{-32}\) Por lo tanto, tenemos dos soluciones posibles para \(x\), dependiendo de si tomamos la raíz cuadrada positiva o negativa del discriminante. Como el discriminante es un número positivo, sabemos que existen dos soluciones reales y distintas para esta ecuación cuadrática.
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