Question - Solving a Quadratic Equation by the Quadratic Formula
Solution:
Para resolver la ecuación que aparece en la imagen, necesitamos simplificar y expandir las expresiones en ambos lados del signo igual, y después recolectar términos semejantes y resolver para x. La ecuación es:$$ 6(2x - 3) + (2x - 9)^2 = (5x + 1)(4x - 3) $$Comenzamos expandiendo y simplificando ambos lados de la ecuación:Primero, el lado izquierdo de la ecuación:$$ 6(2x - 3) = 12x - 18 $$$$ (2x - 9)^2 = (2x - 9)(2x - 9) = 4x^2 - 18x - 18x + 81 = 4x^2 - 36x + 81 $$Sumamos ambas expresiones simplificadas:$$ 12x - 18 + 4x^2 - 36x + 81 $$$$ = 4x^2 - 24x + 63 $$Ahora, el lado derecho de la ecuación:$$ (5x + 1)(4x - 3) = 20x^2 - 15x + 4x - 3 = 20x^2 - 11x - 3 $$Igualamos ambas expresiones:$$ 4x^2 - 24x + 63 = 20x^2 - 11x - 3 $$Ahora, llevamos todos los términos al mismo lado para tener una ecuación cuadrática igualada a cero:$$ 4x^2 - 24x + 63 - 20x^2 + 11x + 3 = 0 $$$$ -16x^2 + 13x + 66 = 0 $$Esta es una ecuación cuadrática que podemos resolver por factorización, completando el cuadrado o usando la fórmula cuadrática. Sin embargo, al mirar los coeficientes, parece que no hay factores obvios, así que la fórmula cuadrática parece ser la mejor opción.La fórmula cuadrática es $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$, donde $$a$$, $$b$$, y $$c$$ son los coeficientes de la ecuación $$ax^2 + bx + c = 0$$. En este caso, $$a = -16$$, $$b = 13$$, y $$c = 66$$.Calculamos el discriminante ($$b^2 - 4ac$$):$$13^2 - 4(-16)(66) = 169 + 4224 = 4393$$Y aplicamos la fórmula cuadrática:$$x = \frac{-13 \pm \sqrt{4393}}{-32}$$Por lo tanto, tenemos dos soluciones posibles para $$x$$, dependiendo de si tomamos la raíz cuadrada positiva o negativa del discriminante. Como el discriminante es un número positivo, sabemos que existen dos soluciones reales y distintas para esta ecuación cuadrática.
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