Question - Factor Polynomials Using the S.O.S Method

a) $a = 1 - 6x + 12x^2 - 14x^3 + 3$

Đặt $a_1 = a - 3 = - 14x^3 + 12x^2 - 6x + 1$

Ta thấy $a_1$ có hệ số của $x^2$ là $12 = 3 \cdot 4$ và hệ số tự do là $1 = 1 \cdot 1$, chọn $a=3$ và $b=1$ để áp dụng phương pháp S.O.S:

$a_1 = -14x^3 + 4x^2 + 8x^2 - 6x + 2x - 1$

$a_1 = -2x(7x^2 - 2x - 2) + 1(4x^2 - 6x + 2)$

$a_1 = -2x(7x^2 - 2x - 2) + 1(2x - 1)^2$

Suy ra $a = a_1 + 3 = -2x(7x^2 - 2x - 2) + (2x - 1)^2 + 3$

b) $b = 4x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1$

Tương tự như trên, nhận thấy hệ số $x^2$ là $5 = 1 \cdot 5$, hệ số tự do là $1 = 1 \cdot 1$, chọn $a=1$ và $b=5$ để áp dụng phương pháp S.O.S:

$b = (x^2 + x)^2 + (4x^3 + 3x^2 + 2x + 1)$

$b = x^2(x^2 + 2x + 1) + 4x(x^2 + x + 1) + (x^2 + x + 1)$

$b = x^2(x + 1)^2 + 4x(x + 1)^2 + (x + 1)^2$

$b = (x^2 + 4x + 1)(x + 1)^2$

c) $c = 3x^2 - 22xy + 11x + 37y^2 + 10$

Chọn $a=3$ và $b=37$ để áp dụng phương pháp S.O.S, nhận thấy hệ số $xy$ là $-22 = -1 \cdot 22$ và hệ số tự do là $10 = 2 \cdot 5$:

$c = (3x^2 - 11x) - (22xy - 37y^2) + (11x + 37y^2 + 10)$

$c = 11x(3x - 1) - 37y(2y + 1) + 11(3x + 10)$

$c = 11(3x - 1)x + 37(1 - 2y)y + 11(3x + 10)$

$c = 11x(3x - 1) + 37y(1 - 2y) + 11(3x + 10)$

d) $d = x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 7x + 1$

Đặt $d_1 = d - 1 = x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 7x$

Nhận thấy rằng $d_1$ gần giống với khai triển của $(x - 1)^4$, ta có:

$d_1 = (x - 1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$

$d_1 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 - 3x^3 + 8x^2 - 3x$

$d_1 = (x - 1)^4 - 3x^3(1 - x) - 3x(1 - x)$

$d_1 = (x - 1)^4 - 3x(x^2 - x) - 3x(x - 1)$

$d_1 = (x - 1)^4 - 3x(x^2 - x - 1)$

Suy ra $d = d_1 + 1 = (x - 1)^4 - 3x(x^2 - x - 1) + 1$

e) $e = x^3 - 8x + 63$

Đây là dạng phương trình bậc 3 không có số hạng $x^2$, ta sẽ tìm ước số của $63$ để thử nghiệm và phân tích thành nhân tử:

Ta thấy $x = 3$ là một nghiệm của phương trình $x^3 - 8x + 63 = 0$, do đó:

$e = (x - 3)(Ax^2 + Bx + C)$

Ta có $(x - 3)(x^2 + 3x + 21)$

$e = (x - 3)(x^2 + 3x + 21)$

Vậy $e = (x - 3)(x^2 + 3x + 21)$