Example Question - probability calculation
Here are examples of questions we've helped users solve.
Calculating Probabilities in a Binomial Distribution
Étape 1 : Représenter la loi de probabilité suivie par X et donner ses paramètres. X suit une loi binomiale B(n, p) avec : n = 3 (le nombre de questions dans le QCM) p = 1/2 (la probabilité de répondre correctement à une question, puisque la réponse est aléatoire et qu'il y a deux réponses possibles, une juste et l'autre fausse). Étape 2 : Calculer la probabilité d'avoir exactement 2 réponses justes. P(X = 2) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k) où C(n, k) est le coefficient binomial qui représente le nombre de combinaisons de n éléments pris k à k. P(X = 2) = C(3, 2) * (1/2)^2 * (1/2)^(3-2) P(X = 2) = 3 * 1/4 * 1/2 P(X = 2) = 3/8 Étape 3 : Calculer la probabilité d'avoir au moins 2 réponses justes. P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) Pour P(X = 3) : P(X = 3) = C(3, 3) * (1/2)^3 * (1/2)^(3-3) P(X = 3) = 1 * 1/8 * 1 P(X = 3) = 1/8 Donc, P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) P(X ≥ 2) = 3/8 + 1/8 P(X ≥ 2) = 4/8 P(X ≥ 2) = 1/2
Testing Independence of Events
Pour résoudre si les événements A et B sont indépendants, on utilise la définition de l'indépendance. Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si P(A ∩ B) = P(A) * P(B). 1. Vérifions l'indépendance des événements A et B. On a : P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A ∩ B) = 0.2. Calculons P(A) * P(B) : P(A) * P(B) = 0.5 * 0.4 = 0.2. Puisque P(A ∩ B) = P(A) * P(B), les événements A et B sont indépendants dans ce cas. 2. Vérifions l'indépendance des événements A et B. On a: P(A) = 0.8, P(B) = 0.7, P(A ∩ B) = 0.65. Calculons P(A) * P(B) : P(A) * P(B) = 0.8 * 0.7 = 0.56. Puisque P(A ∩ B) ≠ P(A) * P(B), les événements A et B ne sont pas indépendants dans ce cas.
Calculating Expected Fraud Reports in a Binomial Distribution
1. Le paramètre de la loi binomiale est \( n = 500 \) et \( p = 3.7\% \) ou \( p = 0.037 \) pour \( X \). 2. Le nombre moyen de personnes contrôlées qui seront signalées en fraude est l'espérance de la loi binomiale, \( E(X) = np = 500 \times 0.037 = 18.5 \).
Finding the Total Possible Outcomes of Flipping a Coin and Spinning a Spinner
La pregunta en la imagen es "You flip a coin and spin the spinner. How many outcomes are possible?" que en español significa "Lanzas una moneda y giras la ruleta. ¿Cuántos resultados posibles hay?" Para resolver esta pregunta, vamos a considerar los posibles resultados de cada evento por separado y luego usar la regla del producto para encontrar el número total de resultados combinados. Al lanzar una moneda, hay dos posibles resultados: cara (C) o cruz (Z). Por otro lado, la ruleta tiene 8 sectores, cada uno con un número del 1 al 8, lo que significa que hay 8 posibles resultados al girar la ruleta: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, u 8. Para encontrar el número total de resultados combinados, multiplicamos el número de resultados posibles para la moneda por el número de resultados posibles para la ruleta. Número total de resultados = Resultados posibles de la moneda * Resultados posibles de la ruleta Número total de resultados = 2 * 8 Número total de resultados = 16 Así que hay 16 resultados posibles al lanzar una moneda y girar la ruleta.
Calculating Probabilities with a Spanish Deck of 40 Cards
Vamos a calcular la probabilidad de obtener cada uno de los resultados mencionados en la imagen, sabiendo que extraemos una carta de una baraja española de 40 naipes: a) El as de espadas. En una baraja española, hay un único as de espadas. Por lo tanto, la probabilidad de extraerlo es la relación entre el número de ases de espadas (1) y el número total de cartas en la baraja (40): \[ P(\text{as de espadas}) = \frac{1}{40} \] b) El rey de bastos. Al igual que con el as de espadas, solo hay un rey de bastos en la baraja. Entonces, la probabilidad de extraerlo es: \[ P(\text{rey de bastos}) = \frac{1}{40} \] c) Una figura. En la baraja española, consideramos figuras al sota, caballo y rey de cada palo. Hay cuatro palos y 3 figuras por palo, lo que da un total de 12 figuras en la baraja: \[ P(\text{figura}) = \frac{12}{40} \] \[ P(\text{figura}) = \frac{3}{10} \] d) Una copa. Hay 10 cartas de copas en la baraja, una de cada número del 1 al 10, por lo que la probabilidad de sacar una copa es: \[ P(\text{copa}) = \frac{10}{40} \] \[ P(\text{copa}) = \frac{1}{4} \]
Calculating Probabilities with a Spanish Card Deck
Claro, te ayudaré a calcular la probabilidad de cada uno de los eventos listados utilizando una baraja española. La baraja española estándar tiene 48 cartas con 4 palos: espadas, oros, copas y bastos, y cada palo tiene 12 cartas que incluyen números del 1 al 7 y figuras que son sota (10), caballo (11) y rey (12). Vamos paso a paso: a) Un 5 y un rey: Primero calculamos la probabilidad de sacar un 5, que es \( \frac{4}{48} \) porque hay 4 cincos en la baraja. Luego, la probabilidad de sacar un rey en la segunda carta, considerando que ya se sacó un 5, sería \( \frac{4}{47} \) ya que quedan 4 reyes en una baraja de 47 cartas. Multiplicamos ambas probabilidades: \( P(\text{un 5 y luego un rey}) = \frac{4}{48} \times \frac{4}{47} = \frac{1}{12} \times \frac{4}{47} \) \( P(\text{un 5 y luego un rey}) = \frac{4}{12 \times 47} = \frac{4}{564} \) \( P(\text{un 5 y luego un rey}) = \frac{1}{141} \) b) Dos espadas: Para sacar una espada en la primera carta la probabilidad es \( \frac{12}{48} \), y luego para sacar otra espada es \( \frac{11}{47} \) ya que queda una carta menos y una espada menos. Multiplicando ambas obtenemos: \( P(\text{dos espadas}) = \frac{12}{48} \times \frac{11}{47} \) \( P(\text{dos espadas}) = \frac{1}{4} \times \frac{11}{47} \) \( P(\text{dos espadas}) = \frac{11}{188} \) c) Ninguna copa (ni copa y ni copa): La probabilidad de sacar una carta que no sea copa en la primera es \( \frac{36}{48} \) ya que eliminamos las 12 copas de las 48 totales. Para la segunda carta, sería \( \frac{35}{47} \) porque faltarían 11 copas de las 47 cartas restantes. Multiplicamos las probabilidades: \( P(\text{ninguna copa}) = \frac{36}{48} \times \frac{35}{47} \) \( P(\text{ninguna copa}) = \frac{3}{4} \times \frac{35}{47} \) \( P(\text{ninguna copa}) = \frac{105}{188} \) d) Dos figuras (sota, caballo o rey): Hay 4 cartas de cada figura por palo, lo que nos da un total de 12 cartas de figuras en la baraja. La probabilidad de sacar una figura en la primera carta es \( \frac{12}{48} \), y para la segunda carta es \( \frac{11}{47} \), multiplicamos: \( P(\text{dos figuras}) = \frac{12}{48} \times \frac{11}{47} \) \( P(\text{dos figuras}) = \frac{1}{4} \times \frac{11}{47} \) \( P(\text{dos figuras}) = \frac{11}{188} \) e) Una figura y una no figura: Aquí hay dos casos: primero sacar una figura y luego una no figura o primero una no figura y luego una figura. Calculamos el primero: \( P(\text{figura y no figura}) = \frac{12}{48} \times \frac{36}{47} \) \( P(\text{figura y no figura}) = \frac{1}{4} \times \frac{36}{47} \) \( P(\text{figura y no figura}) = \frac{36}{188} \) Luego, el segundo caso: \( P(\text{no figura y figura}) = \frac{36}{48} \times \frac{12}{47} \) \( P(\text{no figura y figura}) = \frac{3}{4} \times \frac{12}{47} \) \( P(\text{no figura y figura}) = \frac{36}{188} \) Como ambos casos son equiprobables, la probabilidad total sería la suma de ambos. Entonces: \( P(\text{figura y no figura en total}) = 2 \times \frac{36}{188} \) \( P(\text{figura y no figura en total}) = \frac{72}{188} \) \( P(\text{figura y no figura en total}) = \frac{36}{94} \) Espero que eso te ayude a entender cómo calcular las probabilidades para cada evento con una baraja española.
Calculating Probabilities in a Spanish Deck of Cards
Claro, primero necesitamos entender que una baraja española tiene 48 cartas en total, compuesta de 4 palos: oros, copas, espadas y bastos. Cada palo tiene 12 cartas: números del 1 al 7 y tres figuras que son sota (10), caballo (11) y rey (12). Vamos a calcular la probabilidad para cada uno de los eventos mencionados: a) Un 5 y un rey: Para un 5, hay 4 posibles cartas que puedes escoger (una por cada palo), y para un rey, también hay 4 posibles cartas. La primera carta se elige de 48 y la segunda de 47 (pues ya se habrá quitado una carta de la baraja). Sin embargo, dado que el orden no importa (escoger primero un 5 y luego un rey es lo mismo que escoger primero un rey y luego un 5), tenemos que dividir por 2! para eliminar las repeticiones. \[ P(\text{Un 5 y un rey}) = \frac{4 \cdot 4}{48 \cdot 47} \cdot \frac{1}{2!} = \frac{16}{48 \cdot 47} \cdot \frac{1}{2} = \frac{16}{2256} = \frac{1}{141} \] b) Dos espadas: Tomando dos cartas del mismo palo (en este caso espadas), primero elegimos una carta de las 12 posibles espadas y luego otra de las restantes 11. Nuevamente, el orden no importa por lo que dividimos entre 2!. \[ P(\text{Dos espadas}) = \frac{12 \cdot 11}{48 \cdot 47} \cdot \frac{1}{2!} = \frac{132}{2256} \cdot \frac{1}{2} = \frac{132}{4512} = \frac{11}{376} \] c) Ninguna copa (ni copa y no copa): Para este caso, debemos considerar todas las cartas que no sean copas. Hay 36 cartas que no son copas (48 cartas totales menos las 12 copas). Elegimos dos de esas 36 cartas. \[ P(\text{Ninguna copa}) = \frac{36 \cdot 35}{48 \cdot 47} \cdot \frac{1}{2!} = \frac{1260}{2256} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1260}{4512} = \frac{105}{376} \] d) Dos figuras (sota, caballo o rey): Hay 3 figuras por palo y 4 palos, lo que nos da un total de 12 figuras en toda la baraja. Escogemos dos de estas 12 figuras. \[ P(\text{Dos figuras}) = \frac{12 \cdot 11}{48 \cdot 47} \cdot \frac{1}{2!} = \frac{132}{2256} \cdot \frac{1}{2} = \frac{132}{4512} = \frac{11}{376} \] e) Una figura y una no figura: Hay 12 figuras y 36 no figuras. Escogemos una de las figuras y una de las no figuras. \[ P(\text{Una figura y una no figura}) = \frac{12 \cdot 36}{48 \cdot 47} \cdot \frac{1}{2!} = \frac{432}{2256} \cdot \frac{1}{2} = \frac{432}{4512} = \frac{36}{376} \] Espero que estas explicaciones te hayan sido útiles para comprender cómo se calculan las probabilidades de estos eventos en una baraja española.
Calculating Probability of Drawing 2 Sotas and 2 Reyes from a Deck of Spanish Cards
Para resolver esta pregunta, primero debemos entender que estamos tratando con un problema de probabilidad donde queremos calcular la posibilidad de sacar 2 sotas y 2 reyes de un mazo de 48 cartas españolas. En un mazo de cartas españolas, hay 4 sotas y 4 reyes. Aquí está cómo podemos calcular la probabilidad de sacar 2 sotas y 2 reyes al sacar 4 cartas: 1. Calculamos el número de maneras en las que podemos sacar 2 sotas de las 4 que hay: C(4,2) = 4! / [2! * (4 - 2)!] = (4 * 3) / (2 * 1) = 6 maneras 2. Luego, calculamos el número de maneras en que podemos sacar 2 reyes de los 4 que hay: C(4,2) = 4! / [2! * (4 - 2)!] = (4 * 3) / (2 * 1) = 6 maneras 3. Ahora, calculamos el número total de maneras de sacar 4 cartas de un mazo de 48 cartas: C(48,4) = 48! / [4! * (48 - 4)!] = (48 * 47 * 46 * 45) / (4 * 3 * 2 * 1) = 194580 maneras 4. La probabilidad de sacar específicamente 2 sotas y 2 reyes es el producto de las maneras de sacar las sotas y los reyes dividido por el número total de maneras de sacar 4 cartas: Probabilidad = (C(4,2) * C(4,2)) / C(48,4) Probabilidad = (6 * 6) / 194580 Probabilidad = 36 / 194580 Probabilidad ≈ 0.000185 Así que la probabilidad de sacar 2 sotas y 2 reyes al sacar 4 cartas de un mazo de 48 cartas españolas es aproximadamente 0,000185 o 0,0185%.
Calculating Probabilities with Replacement and Without Replacement
Claro, vamos a resolver paso a paso cada una de las probabilidades indicadas en la imagen: a) La probabilidad de que las dos bolas sean rojas, con reposición. Hay 4 bolas rojas de 24. Al ser con reposición, la probabilidad de sacar una bola roja en cada intento es la misma. Por lo tanto, la probabilidad de sacar una bola roja es \( \frac{4}{24} \) o \( \frac{1}{6} \). La probabilidad de sacar una bola roja en el primer intento y luego otra vez en el segundo intento (ya que se reemplaza la primera bola antes de sacar la segunda) es: \( \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \). b) La probabilidad de que las dos bolas sean azules, sin reposición. En este caso, hay un total de 7 bolas azules y 24 bolas en total. La probabilidad de sacar una bola azul en la primera extracción es \( \frac{7}{24} \). Tras sacar una bola azul, solo quedan 6 bolas azules y 23 bolas en total. Por tanto, la probabilidad de sacar otra bola azul es \( \frac{6}{23} \). Multiplicamos ambas probabilidades para obtener la probabilidad final de ambos eventos: \( \frac{7}{24} \times \frac{6}{23} = \frac{42}{552} = \frac{7}{92} \). c) La probabilidad de que la primera bola sea azul y la segunda verde, con reposición. La probabilidad de sacar una bola azul es \( \frac{7}{24} \), y la de sacar una bola verde después de reponer la primera bola es \( \frac{8}{24} \) o \( \frac{1}{3} \), ya que la composición de la bolsa sigue siendo la misma. La probabilidad conjunta es: \( \frac{7}{24} \times \frac{1}{3} = \frac{7}{72} \). d) La probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda negra, sin reposición. La probabilidad de sacar una bola roja primero es \( \frac{4}{24} \) o \( \frac{1}{6} \). Una vez que una bola roja ha sido sacada, nos quedan 23 bolas, de las cuales, según la información, \( 24 - (4 + 7 + 8) = 5 \) son negras. Entonces, la probabilidad de sacar una bola negra después de haber sacado una roja es \( \frac{5}{23} \). Multiplicamos ambas probabilidades para obtener la probabilidad final: \( \frac{1}{6} \times \frac{5}{23} = \frac{5}{138} \). Estas son las probabilidades requeridas para cada uno de los escenarios dados.
Finding the Z-Value for Standard Normal Distribution
Với giả định rằng bạn đang nói đến phân phối chuẩn, giá trị z mà bạn cần tìm là giá trị mà tại nó, diện tích ở phía bên phải của nó (tức là từ nó đến vô cực) bằng 3/7 của tổng diện tích dưới đường cong phân phối chuẩn (tổng diện tích này bằng 1). Nhớ lại rằng trong phân phối chuẩn, diện tích tương ứng với xác suất và đường cong phân phối chuẩn là đối xứng qua trục dọc đi qua giá trị trung bình (z=0). Vì vậy, nếu phía bên phải của z có 3/7 diện tích, thì phía bên trái sẽ có 4/7 diện tích, vì tổng diện tích phải bằng 1. Do đó, chúng ta cần tìm giá trị z mà phía bên trái của nó chiếm 4/7 của diện tích. Điều này tương ứng với tìm giá trị z mà P(Z < z) = 4/7. Bạn có thể tra cứu giá trị này trong bảng phân phối chuẩn tích lũy, sử dụng một máy tính thống kê, hoặc sử dụng phần mềm thống kê. Dựa trên các bảng phân phối chuẩn và máy tính phân phối z thông dụng, giá trị z tương ứng với xác suất 4/7 là xấp xỉ 0.52. Như vậy, phương án đúng là: z ≈ 0.52.
Calculating Probability of Independent Events
To solve this problem, we need to find the probability of two independent events: 1. Landing on a number less than 4. 2. Then landing on a prime number. Let's calculate them one by one: 1. Landing on a number less than 4: The spinner has numbers 1, 2, 3, 4, and 5. The numbers less than 4 are 1, 2, and 3. Hence, there are 3 favorable outcomes out of 5 possible outcomes. So, the probability of landing on a number less than 4 is 3/5. 2. Landing on a prime number: The prime numbers on the spinner are 2, 3, and 5. Therefore, there are 3 prime numbers out of 5 possible outcomes. So, the probability of landing on a prime number is also 3/5. Since both spins are independent events, the combined probability of both events occurring in succession is the product of their individual probabilities: Probability of both events = (Probability of first event) x (Probability of second event) = (3/5) x (3/5) = 9/25 To express this probability as a percentage, we convert the fraction to a decimal and then multiply by 100: 9/25 = 0.36 0.36 x 100 = 36% Therefore, the probability of landing on a number less than 4 and then landing on a prime number is 36%.
Calculating Probability of Two Events Occurring in Succession
The question asks for the probability of two events happening in succession: rolling a prime number on a 6-sided die, and then rolling a number less than 4. The prime numbers on a 6-sided die are 2, 3, and 5. Therefore, there are 3 outcomes out of 6 that are prime numbers. The probability of rolling a prime number is therefore 3/6 or 1/2. The numbers less than 4 on a 6-sided die are 1, 2, and 3. So, there are 3 outcomes out of 6 that are less than 4. The probability of rolling a number less than 4 is also 3/6 or 1/2. Since these two events are independent (the outcome of the second roll does not depend on the outcome of the first roll), the total probability of both events occurring in succession is the product of their individual probabilities: (1/2) * (1/2) = 1/4 As a percentage, this is: 1/4 * 100 = 25% Therefore, the probability of rolling a prime number and then rolling a number less than 4 is 25%.
Calculating Probability of Sequential Events
To solve this probability question, we need to calculate the probability of two events happening in sequence: picking a card with the number 1 and then picking an even-numbered card after that without replacing the first card. The first event is picking a 1. There are three cards, and only one of them is a 1, so the probability of picking a 1 is: P(1) = 1/3 Now, if the 1 card has been picked, there are only two cards remaining. To satisfy the second event, we need to pick an even number from the two remaining cards. There is only one even card left (either 2 or 3 was removed, depending on which was picked), so the probability of picking an even number after picking 1 is: P(even | 1) = 1/2 To find the overall probability of both events occurring, we multiply the probabilities of the two events: P(1 and then even) = P(1) * P(even | 1) = (1/3) * (1/2) = 1/6 The probability of picking a 1 and then picking an even number in sequence without replacement is 1/6.
Calculating Dependent Probability of Sequential Events
To solve this problem, we need to calculate the probability of two events happening one after the other without replacement, which is a dependent probability scenario. The two events are: 1. Picking a card with the number 1 on it. 2. Picking a card with an even number on it (without replacing the first card). First, let's calculate the probability of the first event: There are 3 cards, and only one card has the number 1 on it. So, the probability of picking the number 1 is: P(1) = 1/3 Now, assuming you picked the card with the number 1 on it, there are now 2 cards left. The second event is picking an even number, and among the remaining 2 cards (since the first card is not replaced), there is only one even number (which is number 2). So, the probability of picking an even number after picking number 1 is: P(even | 1) = 1/2 To find the overall probability of both events happening in succession, we multiply the probabilities of each individual event: P(1 and then an even) = P(1) * P(even | 1) = (1/3) * (1/2) = 1/6 Therefore, the probability of picking a 1 and then picking an even number is 1/6.
Calculating Probability of Spinner Events
To solve this probability problem, we need to identify the prime numbers and the divisors of 3 from the spinner, and then calculate the probability of these two events occurring in sequence when the spinner is spun twice. First, let's identify the prime numbers on the spinner. Prime numbers are numbers greater than 1 that have no positive divisors other than 1 and themselves. From the spinner, we can see that the numbers are 2, 3, and 4. Among these, 2 and 3 are prime numbers. Second, we need to identify the divisors of 3. A divisor of a number is an integer that can divide the number without leaving a remainder. The number 1 and the number itself (in this case, 3) are always divisors of the number. So, the divisors of 3 on the spinner are 1 and 3. Now let's calculate the probabilities: - The probability of landing on a prime number (2 or 3) in the first spin is the number of prime numbers on the spinner divided by the total number of sections on the spinner. There are 2 prime numbers (2 and 3) and a total of 4 sections, so this probability is 2/4 or 1/2. - The probability of landing on a divisor of 3 (1 or 3) in the second spin is the number of divisors of 3 on the spinner divided by the total number of sections on the spinner. Since there are 2 divisors of 3 (1 and 3) out of 4 sections, this probability is also 2/4 or 1/2. To find the overall probability of both events occurring in sequence (landing on a prime number first and then on a divisor of 3), we multiply the probabilities of each individual event: Probability of prime number AND divisor of 3 = (1/2) * (1/2) = 1/4 To express this as a percentage rounded to the nearest tenth, multiply by 100 and round: 1/4 * 100% = 25% Thus, the probability of landing on a prime number and then landing on a divisor of 3, when you spin the spinner twice, is 25%.
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