Question - Calculating Probabilities in a Binomial Distribution
Solution:
Étape 1 : Représenter la loi de probabilité suivie par X et donner ses paramètres. X suit une loi binomiale B(n, p) avec :n = 3 (le nombre de questions dans le QCM)p = 1/2 (la probabilité de répondre correctement à une question, puisque la réponse est aléatoire et qu'il y a deux réponses possibles, une juste et l'autre fausse).Étape 2 : Calculer la probabilité d'avoir exactement 2 réponses justes.P(X = 2) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)où C(n, k) est le coefficient binomial qui représente le nombre de combinaisons de n éléments pris k à k.P(X = 2) = C(3, 2) * (1/2)^2 * (1/2)^(3-2)P(X = 2) = 3 * 1/4 * 1/2P(X = 2) = 3/8Étape 3 : Calculer la probabilité d'avoir au moins 2 réponses justes.P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3)Pour P(X = 3) :P(X = 3) = C(3, 3) * (1/2)^3 * (1/2)^(3-3)P(X = 3) = 1 * 1/8 * 1P(X = 3) = 1/8Donc,P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3)P(X ≥ 2) = 3/8 + 1/8P(X ≥ 2) = 4/8P(X ≥ 2) = 1/2
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