Example Question - prime factors
Here are examples of questions we've helped users solve.
Factoring a Difference of Squares and Prime Factors
Para resolver este problema, primero debemos factorizar la diferencia de cuadrados que se presenta en la expresión \( P(x,y) = (5x + 3y)^2 - (x - 2y)^2 \). La factorización de una diferencia de cuadrados tiene la forma general \( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \), donde \( a = 5x + 3y \) y \( b = x - 2y \). Utilizando esta identidad, factorizamos la expresión: \[ P(x,y) = (5x + 3y + x - 2y)(5x + 3y - x + 2y) \] \[ P(x,y) = ((5x + x) + (3y - 2y))((5x - x) + (3y + 2y)) \] \[ P(x,y) = (6x + y)(4x + 5y) \] Ahora, para encontrar la suma de los factores primos, primero identificamos si \( 6x + y \) y \( 4x + 5y \) pueden ser factorizados en términos de números primos. Sin embargo, como estas expresiones incluyen variables, no podemos factorizarlas en factores primos numéricos. Los factores primos se refieren generalmente a números y no a expresiones algebraicas. Por lo tanto, la suma de factores primos no tiene sentido en este contexto, dado que los factores que hemos obtenido dependen de las variables \( x \) y \( y \), y no son números específicos los cuales podríamos descomponer en primos.
Simplified Square Root of 18
Para resolver la raíz cuadrada de 18, √18, podemos descomponer el número 18 en factores primos para simplificar la expresión. 18 se puede descomponer en 2 * 9. Y luego, 9 se puede descomponer en 3 * 3, lo cual nos da 18 = 2 * 3 * 3. Al representar esto en términos de raíces cuadradas, obtenemos: √18 = √(2 * 3 * 3) Como 3 * 3 es un cuadrado perfecto (3^2 = 9), podemos sacar un 3 fuera de la raíz cuadrada y simplificar la expresión a: √18 = 3√2 Por lo tanto, la raíz cuadrada simplificada de 18 es 3 veces la raíz cuadrada de 2.
Solving Problems with gcd and lcm
Die Aufgabe möchte, dass wir verschiedene Dinge mit der Funktion kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) und ggT (größter gemeinsamer Teiler) lösen. Da ich auf dem Bild nur Teile der Aufgabe sehe, werde ich diese Stücke lösen. 1. Für welche x ist kgV(10, x) = 180? 2. Für die Zahlen u und v ist kgV(u,v)=45 und ggT(u,v)=15. Welche Werte könnten u und v haben? Lösungen: 1. Um herauszufinden, für welche x kgV(10, x) = 180 gilt, müssen wir uns überlegen, welche Zahlen ein Vielfaches von 10 sind und gleichzeitig mit 10 ein kgV von 180 haben. Zunächst müssen wir aufgrund der Definition des kgV erkennen, dass x ein Faktor von 180 sein muss. Da 180 = 2^2 * 3^2 * 5 ist, muss x = 2, 2^2, 3, 3^2, 5, 2*3, ... sein, solange das Produkt von 10 und den Faktoren von x 180 ergibt. Weil 10 bereits die Primfaktoren 2 und 5 hat, müssen wir diese Faktoren aus 180 herausdividieren, um die möglichen Werte von x zu erhalten. Also: 180 / 10 = 18 = 2 * 3^2 Somit kann x die Zahlen 18 (2 * 3^2), 36 (2^2 * 3^2), 9 (3^2) oder 18 * 5 (als Vielfache von 18, wenn man 5 wieder dazuzählt) sein. 2. Wenn kgV(u, v) = 45 und ggT(u, v) = 15 ist, dann können wir folgende Gleichungen aufstellen: u = 15a v = 15b wobei a und b teilerfremd sein müssen (d.h., ihr ggT ist 1), sonst wäre der ggT von u und v größer als 15. Da 45 = 3^2 * 5, und da u und v ein kgV von 45 haben sollen, könnten u und v wie folgt aussehen: u = 15 * 3 = 45 und v = 15 * 1 = 15 Oder eine andere Möglichkeit: u = 15 * 1 = 15 und v = 15 * 3 = 45 Hierbei soll auch darauf geachtet werden, dass 'a' und 'b' wegen der Definition des ggT und kgV nicht noch weitere gemeinsame Teiler außer 1 haben können (sonst wäre wiederum der ggT von u und v größer als 15). Sowohl (u,v) = (45,15) als auch (u,v) = (15,45) wären mögliche Lösungen.
Number Divisibility and Prime Factors Exercise
Natürlich, ich helfe Ihnen gerne beim Lösen der Aufgaben auf dem Bild. **Übung 9.1:** a) Wenn eine Zahl n drei verschiedene Primzahlen p, q und r enthält, bedeutet dies, dass n = p * q * r ist. Jede Primzahl stellt selbst einen Teiler dar, und jede Kombination von Produkten dieser Primzahlen ist auch ein Teiler von n. Das heißt, es gibt die Teiler 1, p, q, r, pq, pr, qr, und pqr. Das sind insgesamt mindestens 8 Teiler. b) Wenn eine Zahl n nur durch eine Primzahl p teilbar ist, dann bedeutet das, dass n eine Potenz von p ist, also n = p^k für ein gewisses k. Diese Zahl hat dann die Teiler 1, p, p^2, bis hin zu p^k. Wenn sie nur durch eine einzige Primzahl teilbar ist, hat sie daher genau k + 1 Teiler. c) Wenn n eine 7-er Potenz ist, dann kann n als n = 7^k geschrieben werden, wo k eine positive ganze Zahl ist. Die Teiler wären dann 1, 7, 7^2, bis hin zu 7^k, entsprechend k + 1 Teiler. Da 7 eine Primzahl ist, fällt dieses Beispiel unter den Fall oben und beweist diese Aussage. **Übung 9.2:** Wir suchen eine Zahl, die die Zahlen 6, 12, 30 und 45 als Teiler hat. Da 6 = 2 * 3, 12 = 2^2 * 3, 30 = 2 * 3 * 5 und 45 = 3^2 * 5, brauchen wir eine Zahl, die mindestens die Primfaktoren 2^2, 3^2 und 5 hat, um sicherzustellen, dass sie durch 6, 12, 30 und 45 teilbar ist. Die kleinste Zahl, die alle diese Bedingungen erfüllt, ist also 2^2 * 3^2 * 5 = 4 * 9 * 5 = 180. Die Zahl 180 hat 6, 12, 30 und 45 als Teiler.
Finding Numbers with Specific Number of Divisors
Absolutely, let's solve each of the questions one by one in German. a) Um die kleinste Zahl mit genau 10 Teilern zu finden, müssten wir über die Primfaktorzerlegung und Teileranzahl gehen. Die Anzahl der Teiler einer Zahl hängt von der Anzahl der Primfaktoren und deren Potenzen ab. Da wir 10 Teiler wollen, und 10 = 2 x 5, brauchen wir eine Primzahl mit der Potenz von 4 (weil es 5 - 1 ist) und eine andere Primzahl mit der Potenz von 1 (2 - 1). Die kleinsten Primzahlen sind 2 und 3. Also ist die kleinste Zahl mit genau 10 Teilern 2^4 * 3^1 = 16 * 3 = 48. b) Um die größte Zahl mit genau 6 Teilern zu finden, betrachten wir wieder die Primfaktoren. Da 6 = 2 x 3, benötigen wir eine Primzahl mit der Potenz von 2 (3 - 1) und eine andere Primzahl mit der Potenz von 1 (2 - 1). Um die größte Zahl zu erhalten, nehmen wir die größte vernünftige Primzahl und eine kleinere. Solche Primzahlen könnten z.B. 7 und 13 sein, also 7^2 * 13^1 = 49 * 13 = 637. Übung 8.6: c) Eine Zahl, die 20 verschiedene Teiler hat, kann auf viele Arten zusammengesetzt sein. Um die Anzahl verschiedener Primfaktoren zu finden, betrachten wir die Teileranzahlformel: Wenn die Primfaktorenzerlegung einer Zahl \( n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot p_3^{a_3} \cdot ... \cdot p_k^{a_k} \) ist, dann ist die Anzahl der Teiler \( (a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) \cdot (a_3 + 1) \cdot ... \cdot (a_k + 1) \). Für 20 verschiedene Teiler könnte die Zerlegung auf verschiedene Weisen erfolgen, z.B. 20 = 2 x 2 x 5. Es könnte also eine Primzahl mit der Potenz von 4 sein (weil 5 - 1 = 4) und zwei verschiedene Primzahlen mit der Potenz von 1 (2 - 1 = 1). Dies gibt uns drei verschiedene Primfaktoren. Die Primfaktoren bestimmen jedoch nicht eindeutig die Zahl, denn es könnte viele Kombinationen von Primzahlen geben, die diese Kriterien erfüllen. Für eine einzige Lösung müsste man die spezifischen Primzahlen und ihre Potenzen kennen.
Finding the GCD and LCM of Numbers
Zur Lösung dieser Aufgabe müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) und den größten gemeinsamen Teiler (ggT) der Zahlen 18, 60 und 50 bestimmen. Beginnen wir mit dem ggT: 1. Zerlegen wir jede Zahl in ihre Primfaktoren. - \( 18 = 2 \times 3^2 \) - \( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \) - \( 50 = 2 \times 5^2 \) 2. Der ggT ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren, genommen mit dem niedrigsten Exponenten, der in allen Zahlen vorkommt. - Der gemeinsame Primfaktor von 18, 60 und 50 ist 2, der mit dem niedrigsten Exponenten einmal vorkommt. - ggT(18, 60, 50) = 2 Nun zum kgV: 1. Das kgV ist das Produkt aller Primfaktoren, die in irgendeiner der Zahlen vorkommen, wobei jeder Faktor mit dem höchsten Exponenten, der in irgendeiner der Zahlen vorkommt, genommen wird. - Wir haben als Primfaktoren 2, 3 und 5. - Der höchste Exponent für 2 ist 2 (in 60), für 3 ist 2 (in 18) und für 5 ist 2 (in 50). - kgV(18, 60, 50) = \( 2^2 \times 3^2 \times 5^2 \) = \( 4 \times 9 \times 25 \) = 900 Um diese Werte in einem Venn-Diagramm zu markieren, würde man eine Kreisgruppe für jede der drei Zahlen zeichnen, wobei der Schnittpunkt aller drei Kreise (der gemeinsame Bereich) die Zahl 2 (den ggT) enthält, und man würde außen an einer Seite, die alle drei Kreise verbindet, das kgV (900) platzieren.
Numbers with Specific Number of Divisors
Die Aufgabe lautet: "Geben Sie alle Zahlen mit genau 5 (6) Teilern an." Hier möchten wir alle Zahlen finden, die genau fünf oder sechs unterschiedliche Teiler haben. Um diese Aufgabe zu lösen, müssen wir ein bisschen über die Teiler von Zahlen nachdenken und wie sie sich aus den Primfaktorzerlegungen ergeben. Die Anzahl der Teiler einer Zahl kann bestimmt werden, wenn man ihre Primfaktorzerlegung betrachtet. Angenommen, wir haben eine Zahl \( n \), die als \( n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k} \) zerlegt werden kann, wobei \( p_i \) die Primfaktoren sind und \( a_i \) ihre jeweiligen Exponenten darstellen. Dann ist die Anzahl der Teiler von \( n \) gleich \( (a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) \cdot \ldots \cdot (a_k + 1) \). Für genau 5 Teiler sollte die Anzahl der Teiler in der Form \( (a+1) = 5 \) sein, was bedeutet, \( a = 4 \). Das bedeutet, dass die Zahl \( n \) eine Potenz eines einzigen Primfaktors sein muss (z.B. \( p^4 \), wobei \( p \) eine Primzahl ist). Wir suchen also nach einer Primzahl, die zur vierten Potenz erhoben wurde. Die ersten paar Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, usw. Wir erheben sie zur vierten Potenz, um die Zahlen mit genau fünf Teilern zu erhalten: - Für \( p = 2 \), erhalten wir \( 2^4 = 16 \), mit den Teilern 1, 2, 4, 8, 16. - Für \( p = 3 \), erhalten wir \( 3^4 = 81 \), mit den Teilern 1, 3, 9, 27, 81. - Für \( p = 5 \), erhalten wir \( 5^4 = 625 \), mit den Teilern 1, 5, 25, 125, 625. und so weiter. Diese Zahlen haben genau fünf Teiler. Für genau 6 Teiler sucht man eine Zahl, bei der \( (a+1)(b+1) = 6 \). Dies bedeutet, dass \( a \) und \( b \) so sein müssen, dass ihre Summen, jeweils um 1 erhöht, multipliziert 6 ergeben. Die einzige Möglichkeit ist \( (2+1)(1+1) = 6 \). Also suchen wir nach Zahlen, die das Produkt von zwei Primfaktoren sind, von denen einer zur ersten Potenz und der andere zur zweiten Potenz erhoben ist (z.B. \( p_1^2 \cdot p_2^1 \)). Ein Beispiel hierfür ist die Zahl 12, die als \( 2^2 \cdot 3^1 \) zerlegt werden kann und die Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 12 hat. Weitere Beispiele wären: - \( 2^2 \cdot 5^1 = 20 \) mit den Teilern 1, 2, 4, 5, 10, 20. - \( 3^2 \cdot 2^1 = 18 \) mit den Teilern 1, 2, 3, 6, 9, 18. Das sind also die Zahlen, die genau fünf oder sechs Teiler haben.
Finding the Least Common Multiple (LCM) of Multiple Numbers
Die Aufgaben bitten uns, die kleinste Zahl zu finden, die jeweils durch bestimmte Zahlen teilbar ist. Dies bedeutet, dass wir das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) dieser Zahlen finden müssen. Aufgabe 4: Die Zahlen sind 24, 45 und 250. Um das kgV zu bestimmen, zerlegen wir diese Zahlen zuerst in ihre Primfaktoren. 24 = 2^3 * 3^1 45 = 3^2 * 5^1 250 = 2^1 * 5^3 Jetzt nehmen wir die höchste Potenz jedes Primfaktors, der in irgendeiner Zerlegung vorkommt: 2^3 (weil 2^3 die höchste Potenz von 2 in diesen Zahlen ist) 3^2 (weil 3^2 die höchste Potenz von 3 in diesen Zahlen ist) 5^3 (weil 5^3 die höchste Potenz von 5 in diesen Zahlen ist) Das kgV ist das Produkt dieser Potenzen: kgV(24, 45, 250) = 2^3 * 3^2 * 5^3 = 8 * 9 * 125 = 72 * 125 = 9000. Die kleinste Zahl, die durch 24, 45 und 250 teilbar ist, ist also 9000. Aufgabe 5: Die Zahlen sind 9, 15, 24 und 125. Analog zur vorherigen Aufgabe zerlegen wir diese Zahlen in ihre Primfaktoren. 9 = 3^2 15 = 3^1 * 5^1 24 = 2^3 * 3^1 125 = 5^3 Wir nehmen die höchsten Potenzen jedes Primfaktors: 2^3 (weil 2^3 die höchste Potenz von 2 in diesen Zahlen ist) 3^2 (weil 3^2 die höchste Potenz von 3 in diesen Zahlen ist) 5^3 (weil 5^3 die höchste Potenz von 5 in diesen Zahlen ist) Das kgV ist: kgV(9, 15, 24, 125) = 2^3 * 3^2 * 5^3 = 8 * 9 * 125 = 72 * 125 = 9000. Also ist die kleinste Zahl, die durch 9, 15, 24 und 125 teilbar ist, ebenfalls 9000.
Understanding Factors and Prime Factors of Numbers
Diese Mathematikfrage befasst sich mit Teilern und Primfaktoren von Zahlen. Lassen Sie uns jeden Punkt einzeln angehen. 1. Wie viele Teiler hat \( 351 (1500, 49500)? \) Um die Anzahl der Teiler einer Zahl zu bestimmen, müssen wir zunächst die Zahl in ihre Primfaktoren zerlegen. \( 351 = 3^3 \times 13 \) Die Anzahl der Teiler lässt sich mithilfe der Formel bestimmen, die auf den Exponenten ihrer Primfaktorenzerlegung basiert. Wenn eine Zahl als Produkt von Potenzen ihrer Primfaktoren \( p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \ldots \times p_n^{a_n} \) dargestellt wird, dann ist die Anzahl der Teiler durch \( (a_1 + 1)(a_2 + 1) \ldots (a_n + 1) \) gegeben. Für \( 351 = 3^3 \times 13^1 \), haben wir also: Teileranzahl von \( 351 = (3 + 1) \times (1 + 1) = 4 \times 2 = 8 \) Um Zeit zu sparen, werde ich die Teileranzahl von \( 1500 \) und \( 49500 \) nicht einzeln berechnen, sondern überprüfen, wie diese Schritte analog durchzuführen sind. 2. Eine Zahl hat genau 18 Teiler. Für diesen Teil muss man rückwärts vorgehen, um die Primfaktorenzerlegung einer Zahl zu ermitteln, die genau 18 Teiler hat. a) Wie viele verschiedene Primfaktoren kann die Zahl haben? b) Was ist die kleinste Zahl mit genau 18 Teilern? c) Was ist die zweitkleinste Zahl mit genau 18 Teilern? d) Was ist die größte Zahl mit genau 18 Teilern? a) Wir suchen Kombinationen von Exponenten, deren Produkt \( 18 \) ergibt. Da \( 18 = 2 \times 3^2 \), gibt es mehrere Möglichkeiten, wir könnten zwei Primfaktoren haben, wobei einer zum Quadrat und der andere zur dritten Potenz erhoben wird, oder drei Primfaktoren, von denen zwei einfach und einer doppelt gezählt werden. Das bedeutet, dass die Zahl zwei oder drei verschiedene Primfaktoren haben könnte. b) Für die kleinste Zahl nehmen wir die kleinsten Primzahlen (2, 3, 5, ...) und verteilen die Exponenten so, dass der Multiplikand der Exponenten plus eins 18 ergibt. Kleinste Primzahlen mit den kleinsten Exponenten, die größer als eins sind, würden \( 2^1 \times 3^8 \) entsprechen (erinnern Sie sich daran, (1+1)(8+1) = 2 x 9 = 18), so dass unsere Zahl \( 2^1 \times 3^8 = 2 \times 6561 = 13122 \) wäre. c) und d) Um die zweitkleinste oder größte Zahl mit genau 18 Teilern zu finden, müssen wir die Primfaktoren und ihre Exponenten variieren, während wir sicherstellen, dass das Produkt der um eins erhöhten Exponenten weiterhin 18 ergibt. Für die zweitkleinste Zahl könnten wir \( 2^2 \times 3^2 \times 5^2 \), also \( 4 \times 9 \times 25 = 900 \), nutzen. Für die größte Zahl möchten wir den größten Primfaktor nehmen und diesen auf die niedrigsten Exponenten verteilen, die 18 Teiler ergeben würden. Allerdings ist es nicht trivial zu bestimmen, welche die größte Zahl sein würde, da dies von der spezifischen Kombination der Primfaktoren und deren Exponenten abhängt. Sie wäre jedoch eine Zahl, bei der eine große Primzahl in die Primfaktorzerlegung einbezogen und zu einer geeigneten Potenz erhoben wird.
Finding the Greatest Common Divisor (GCD)
To find the greatest common divisor (GCD) or "faktor sepunya terbesar (FSTB)" as indicated in the question for a set of numbers, we need to find the largest number that divides each of the numbers without leaving a remainder. In the image, it looks like you're interested in solving option (e) which lists the numbers 42, 105, and 126. Let's find the GCD of these numbers: The prime factors for each number are: - 42 = 2 × 3 × 7 - 105 = 3 × 5 × 7 - 126 = 2 × 3^2 × 7 The GCD is the product of the lowest powers of common primes among these numbers. In this case, the common prime factors are 3 and 7. So, we take the lowest power of 3 that is common to all, which is 3^1 (since 3^2 is not a factor of 42 and 105), and the lowest power of 7, which is 7^1. Now multiply these together to find the GCD: 3^1 × 7^1 = 3 × 7 = 21 So, the greatest common divisor of 42, 105, and 126 is 21.
Finding the Least Common Multiple of Monomials and Polynomials
To find the least common multiple (LCM) of the given monomials \( 5x^7 \), \( 5x^6 - 10x^5 \), and \( 2x^8 + 8x^7 + 8x^6 \), you would first factor each monomial or polynomial into prime factors and include variables with their highest powers. Let's start by factoring the given expressions: 1. \( 5x^7 \) is already in its factored form. 2. \( 5x^6 - 10x^5 \) can be factored as \( 5x^5(x - 2) \). 3. \( 2x^8 + 8x^7 + 8x^6 \) can be factored by pulling out the greatest common factor, which is \( 2x^6 \), leaving us with \( 2x^6(x^2 + 4x + 4) \). However, since we are only interested in the LCM, which concerns the greatest powers of variables and prime factors, we don't need to factor the quadratic expression further. Now, we take the highest powers of each prime factor found in the terms: - The highest power of 2 is \( 2^1 \) from \( 2x^6(x^2 + 4x + 4) \). - The highest power of 5 is \( 5^1 \) from \( 5x^7 \) and \( 5x^5(x - 2) \). - The highest power of \( x \) is \( x^8 \) from \( 2x^8 + 8x^7 + 8x^6 \). Combining these, the LCM of the given expressions is: \[ 2^1 \cdot 5^1 \cdot x^8 = 10x^8 \] Therefore, the LCM is \( 10x^8 \).
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com