Question - Factoring a Difference of Squares and Prime Factors
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Solution:
Para resolver este problema, primero debemos factorizar la diferencia de cuadrados que se presenta en la expresión $$ P(x,y) = (5x + 3y)^2 - (x - 2y)^2 $$. La factorización de una diferencia de cuadrados tiene la forma general $$ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) $$, donde $$ a = 5x + 3y $$ y $$ b = x - 2y $$. Utilizando esta identidad, factorizamos la expresión:\[ P(x,y) = (5x + 3y + x - 2y)(5x + 3y - x + 2y) \]\[ P(x,y) = ((5x + x) + (3y - 2y))((5x - x) + (3y + 2y)) \]\[ P(x,y) = (6x + y)(4x + 5y) \]Ahora, para encontrar la suma de los factores primos, primero identificamos si $$ 6x + y $$ y $$ 4x + 5y $$ pueden ser factorizados en términos de números primos. Sin embargo, como estas expresiones incluyen variables, no podemos factorizarlas en factores primos numéricos. Los factores primos se refieren generalmente a números y no a expresiones algebraicas.Por lo tanto, la suma de factores primos no tiene sentido en este contexto, dado que los factores que hemos obtenido dependen de las variables $$ x $$ y $$ y $$, y no son números específicos los cuales podríamos descomponer en primos.
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